Русская Википедия:Дискриминант
Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ[1].
Для многочлена <math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n</math>, <math>a_n \neq 0</math>, его дискриминант есть произведение
- <math>D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>,
- где <math>\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n</math> — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчленаШаблон:Переход, знак которого определяет количество действительных корней.
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- <math>D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')</math>, где <math>R(p,p')</math> — результант многочлена <math>p(x)</math> и его производной <math>p'(x)</math>.
Примеры
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
Многочлен второй степени
Дискриминант квадратного трёхчлена <math>ax^2+bx+c</math> равен <math>D = b^2-4ac.</math>
- При <math>D > 0</math> трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
- <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}= \frac{2c}{-b \mp \sqrt{D}}.</math>
- При <math>D = 0</math> — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
- <math>x = -\frac{b}{2a}.</math>
- При <math>D < 0</math> вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряженных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
- <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}.</math>
- <math>x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{D}} = \frac{2c}{-b \pm i\sqrt{|D|}}.</math>
Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения
Дискриминант квадратного трехчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:
<math>l=\frac{\sqrt{D}}{2a}</math> . [2]
Многочлен третьей степени
Дискриминант кубического многочлена <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> равен
- <math> D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd = 27\left(6a\frac{b}{3}\frac{c}{3}d - 4\left(a\left(\frac{c}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{3}\right)^3d\right) + 3\left(\frac{b}{3}\right)^2\left(\frac{c}{3}\right)^2 - a^2d^2\right).</math>
В частности, дискриминант кубического многочлена <math>x^3+px+q</math> (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен <math>-4p^3-27q^2 = -108\left(\left( \frac{p}{3} \right)^3+\left( \frac{q}{2} \right)^2\right).</math>.
- При <math>D > 0</math> кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
- При <math>D = 0</math> он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
- При <math>D < 0</math> кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).
Многочлен четвёртой степени
Дискриминант многочлена четвёртой степени <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> равен
- <math>\begin{align}
D &= 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4\ + \\ &+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e\ - \\ &- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2. \end{align} </math> Для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math> дискриминант имеет вид
- <math>\begin{align}
D &= 256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2 = \\ &= 256\left(s^3-18\left(\frac{q}{6}\right)^2s^2-27\left(\frac{r}{4}\right)^4-54\left(\frac{q}{6}\right)^3r^2+54\left(\frac{q}{6}\right)\left(\frac{r}{4}\right)^2s+81\left(\frac{q}{6}\right)^4s\right). \end{align}</math> и равенство <math>D=0</math> определяет в пространстве <math>(q,r,s)</math> поверхность, называемую ласточкиным хвостом.
- При <math>D < 0</math> многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
- При <math>D > 0</math> многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
- А именно, для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math>[3]:
- если <math>q \geqslant 0</math>, то все корни комплексные;
- если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то все корни комплексные;
- если <math>q < 0</math> и <math>s < \frac{q^2}{4}</math>, то все корни вещественные.
- При <math>D = 0</math> многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
- Точнее[3]:
- если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q < 0</math> и <math>-\frac{q^2}{12} < s < \frac{q^2}{4}</math>, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
- если <math>q < 0</math> и <math>s = \frac{q^2}{4}</math>, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
- если <math>q < 0</math> и <math>s = -\frac{q^2}{12}</math>, то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
- если <math>q > 0</math>, <math>s > 0</math> и <math>r \neq 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q > 0</math>, <math>s = \frac{q^2}{4}</math> и <math>r = 0</math>, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
- если <math>q > 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q = 0</math> и <math>s > 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q = 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 4.
История
Термин образован от Шаблон:Lang-lat — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр и Александр Бейгул[4].
См. также
Литература
Примечания
