Русская Википедия:Дифракция Френеля
Дифра́кция Френе́ля — дифракционная картина, которая наблюдается на небольшом расстоянии от препятствия, по условиям, когда основной вклад в интерференционную картину дают границы экрана.
| Дифракция Френеля:
<math>F = \frac{\rho^2}{z\lambda} \geqslant 1</math> |
| Дифракция Фраунгофера:
<math>F = \frac{\rho^2}{z\lambda} \ll 1</math> |
На рисунке схематично изображён (слева) непрозрачный экран с круглым отверстием (апертура), слева от которого расположен источник света. Изображение фиксируется на другом экране — справа. Вследствие дифракции свет, проходящий через отверстие, расходится, поэтому область, которая была затемнена по законам геометрической оптики, будет частично освещённой. В области, которая при прямолинейном распространении света была бы освещённой, наблюдаются колебания интенсивности освещения в виде концентрических колец.
Дифракционная картина для дифракции Френеля зависит от расстояния между экранами и от расположения источников света. Её можно рассчитать, считая, что каждая точка на границе апертуры излучает сферическую волну по принципу Гюйгенса. В точках наблюдения, на втором экране, волны или усиливают друг друга, или гасятся в зависимости от разности хода.
Интеграл Френеля
В скалярной теории дифракции распределение электрического поля дифрагирующего света в точке (x,y,z) задаётся выражением Релея-Зоммерфельда:
- <math> E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy' </math>
где <math> r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}</math>, <math> i</math> — мнимая единица, и <math>\cos \theta = \frac{z}{r}</math> — косинус угла между направлениями z и r. В аналитическом виде этот интеграл представим только для простейших геометрий отверстий, поэтому он вычисляется обычно численными методами.
Аппроксимация Френеля
Главная трудность при вычислении интеграла представляет собой выражение для r. Во-первых, упростим вычисления, сделав замену переменных:
- <math>\rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2</math>
Подставляя это выражение вместо r, найдём:
- <math> r= \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } </math>
Воспользуемся разложением Тейлора в ряд
- <math>\sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots</math>
и выразим r в виде
- <math>r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots</math>
Если мы рассмотрим все члены разложения, это будет точным выражением[1]. Подставим это выражение в аргумент экспоненциальной функции под интегралом; ключевую роль в приближении Френеля играет пренебрежение третьим членом в разложении, который предполагается малым. Чтобы это было возможным, он должен слабо влиять на показатель степени. Другими словами, он должен быть намного меньше, чем период показателя экспоненты, то есть <math>2 \pi</math>:
- <math> k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi.</math>
Выражая k в терминах длины волны,
- <math>k = { 2 \pi \over \lambda }</math>
получим следующее соотношение:
- <math> \frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8</math>
Умножая обе стороны на <math>z/\lambda</math>, получим
- <math> \frac{\rho^4}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}</math>
или, подставляя ранее полученное выражение для ρ2,
- <math> \frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}</math>
Если это условие выполняется для всех значений x, x' , y и y' , тогда мы можем пренебречь третьим членом в разложении Тейлора. Более того, если третий член мал, то все последующие слагаемые более высоких порядков тоже малы, и ими можно пренебречь. Тогда можно аппроксимировать выражение, используя два члена разложения:
- <math> r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z} </math>
Это выражение называется приближением Френеля, а неравенство, полученное ранее, есть условие применимости этого приближения.
Дифракция Френеля
Условие применимости достаточно слабо и позволяет все характерные размеры взять как сравнимые величины, если апертура много меньше, чем длина пути. К тому же, так как нас интересует только малая область недалеко от источника, величины x и y много меньше, чем z, предположим <math>\theta \approx 0</math>, что означает <math>\cos \theta \approx 1</math>, и r в знаменателе можно аппроксимировать выражением <math>r \approx z</math>.
В противоположность дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля должна учитывать кривизну волнового фронта, чтобы правильно учесть относительные фазы интерферирующих волн.
Электрическое поле для дифракции Френеля в точке (x,y,z) дано в виде:
- <math> E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy' </math>
Это - интеграл дифракции Френеля; он означает, что, если приближение Френеля действительно, распространяющееся поле - волна, начинающаяся в апертуре и движущаяся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощения, действительного только для намного больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Приближение однако было в предыдущем шаге, когда мы предположили, что <math>e^{i k r}/r</math> реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного уравнения Гельмгольца, только для скалярного. См. скалярное волновое приближение
