Русская Википедия:Дифференциальная геометрия поверхностей
Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.
Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии. Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей являются гладкие поверхности, вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений. Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что и риманова метрика).
История
Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству.
Кривизну поверхностей общего вида изучал Леонард Эйлер; в 1760 году им получено выражение для нормальных кривизн поверхности.Шаблон:Sfn В 1771 годуШаблон:Sfn он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме, ввёл понятие наложимости поверхностей (в современной терминологии — изометричность); в частности он рассмотрел поверхности, наложимые на плоскость. Таким образом Эйлер был первым, кто рассматривал внутреннюю геометрию поверхности.
Гаспар Монж рассматривал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях.
Важнейший вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух статьях, написанных в 1825 и 1827 годахШаблон:Sfn. В частности, им доказана так называемая Theorema Egregium — исторически важный результат, который говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Выделение дифференциальной геометрии в отдельную область исследований часто связывают именно с этой теоремой.Шаблон:Sfn Он ввёл понятие первой и второй квадратичных форм. Позже Карл Михайлович Петерсон вывел полную систему уравнений на квадратичные формы поверхности.
Ключевые результаты во внутренней геометрии поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности, он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.
С конца XIX векa, большое внимание уделялось задаче об изометрическом погружении, изгибании поверхностей и задачам жёсткости. Важнейшие результаты были получены Александром Даниловичем Александровым, Давидом Гилбертом, Дмитрием Фёдоровичем Егоровым, Стефаном Кон-Фоссеном и другими.
Методы развитые в дифференциальной геометрии поверхностей сыграли основную роль в развитии римановой и александровской геометрий.
Основные понятия
Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество <math>\Sigma</math> евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без края), если для любой точки <math>p\in \Sigma</math> существует окрестность <math>U\ni p</math> в <math>\Sigma</math>, которая является графиком <math>z=f(x,y)</math> гладкой функции <math>f</math> в подходящим образом выбранной системе декартовых координат <math>(x,y,z)</math>.
Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.
Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.
Большое внимание отводится и другим классам кривых на поверхности, включая геодезические, асимптотические кривые и линии кривизны.
Основные результаты теории относятся к свойствам выпуклых, седловых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей постоянной средней кривизны и в частности минимальных поверхностей.
- Конструкции
- Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.
- Трёхгранник Дарбу естественный репер для кривой на поверхности, используется в определении геодезической и нормальной кривизны.
- Технические утверждения
- Формула Эйлера позволяет вычислить нормальную кривизну поверхности.
- Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.
Фундаментальные теоремы
- Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической кривой из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические кривые являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат
- Уравнения Петерсона ― Кодацци дают локальные условия на первую и вторую квадратичные формы поверхности.
- Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхности поверхностью постоянной гауссовой кривизны.
- Формула Гаусса — Бонне — даёт выражение на интеграл гауссовой кривизны по области на поверхности.
- Теорема сравнения Александрова — даёт оценки на углы геодезического треугольника.
Открытые вопросы
- Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евклидово пространство размерности 3. Это так называемая «уравнение Вейля»Шаблон:Sfn.
- Результат ЯкобовичаШаблон:Sfn и ПознякаШаблон:Sfn даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
- В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
- Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гауссовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхности в <math>\mathbb{E}^3</math>. Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.[1]
- Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.
- Шаблон:Не переведено 5. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в <math>\mathbb{E}^3</math>, должен быть ограничен снизу величиной <math>2\pi^2</math>. Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк НевесШаблон:Sfn.
Примечания
Шаблон:Notelist Шаблон:Примечания
Ссылки
Литература
- Шаблон:Статья. Дата публикации — 1767
- Шаблон:Статья. Дата публикации — 1772
Шаблон:Нет сносок в данной статье
- ↑ Погорелов А. В. Изгибание выпуклых поверхностей ГИТТЛ (1951)
