Русская Википедия:Дифференциальная теория Галуа
Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.
Предпосылки и основная идея
В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как
- <math>f(x) = e^{-x^2},</math>
- <math>f(x) = \frac{\sin x}{x},</math>
- <math>f(x) = x^x,</math>
Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции <math>f(x)=e^{-x^{2}}</math> станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарнымШаблон:Нет АИ.
Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, <math>\mathcal{D}</math>. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.
Определения
Для любого дифференцируемого поля <math>F</math> есть подполе
- <math>\operatorname{Con} F =\{f \in F \mid \mathcal{D}f = 0\},</math>
которое называется полем констант <math>F</math>. Для двух дифференциальных полей <math>F</math> и <math>G</math> поле <math>G</math> называется логарифмическим расширением <math>F</math>, если <math>G</math> является простым трансцендентным расширением <math>F</math> (то есть <math>G = F(t)</math> для некоторого трансцендентного <math>t</math>), так что
- <math>\mathcal{D}t = \frac{\mathcal{D}s}{s}</math> для некоторого <math>s \in F</math>.
Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе <math>t</math> как логарифм некоторого <math>s</math> из <math>F</math>, и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в <math>F</math>, не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений <math>F</math>. Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле
- <math>\mathcal{D}t = t \mathcal{D}s.</math>
Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от <math>s</math> из <math>F</math>. Наконец, <math>G</math> называется элементарным дифференциальным расширением <math>F</math>, если имеется конечная цепочка подполей от <math>F</math> до <math>G</math>, где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.
Примеры
Поле <math>\Complex(x)</math> рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа <math>\Complex</math>.
Основная теорема
Предположим, что <math>F</math> и <math>G</math> — дифференциальные поля, для которых <math>\operatorname{Con} F = \operatorname{Con} G</math>, и <math>G</math> является элементарным дифференциальным расширением <math>F</math>. Пусть <math>a \in F</math>, <math>y \in G</math> и, кроме того, <math>\mathcal{D}y = a</math> (то есть, <math>G</math> содержит первообразную <math>a</math>). Тогда существуют <math>c_1, \dots, c_n \in \operatorname{Con} F</math>, <math>u_1, \dots, u_n, v \in F</math> такие, что
- <math>a = c_1 \frac{\mathcal{D}u_1}{u_1} + \dots + c_n \frac{\mathcal{D}u_n}{u_n} + \mathcal{D}v.</math>
Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.
Ссылки
- Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer
См. также
