Русская Википедия:Дифференциальная форма
Дифференциа́льная фо́рма порядка <math>k</math>, или <math>k</math>-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа <math>(0, k)</math> на многообразии.
Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.
Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.
Пространство <math>k</math>-форм на многообразии <math>M</math> обычно обозначают <math>\Omega^k(M)</math>.
Определения
Инвариантное
В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени <math>k</math>, или просто <math>k</math>-форма, — это гладкое сечение <math>\wedge^k T^* M</math>, то есть <math>k</math>-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,
- значение <math>k</math>-формы на наборе из <math>k</math> штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
- значение <math>k</math>-формы в точке <math>x</math> многообразия есть кососимметрический <math>k</math>-линейный функционал на <math>T_xM</math>.
Через локальные карты
<math>k</math>-формой на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида
- <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> — гладкие функции, <math>dx^i</math> — дифференциал <math>i</math>-ой координаты <math>x^i</math> (функция от вектора, возвращающая его координату с номером <math>i</math> ), а <math>\wedge</math> — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.
На гладком многообразии k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).
Связанные определения
- Для <math>k</math>-формы
- <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n} f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\dots,x^n)dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
- её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это <math>(k+1)</math>-форма, в координатах имеющая вид
- <math>d\omega=\sum_{j=1}^{n}\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
- для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть <math>0</math>-форм, затем дифференциал <math>1</math>-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по <math>R</math>-линейности и градуированному правилу Лейбница:
- <math>dF(v)=v(F)</math> — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
- <math>d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - \omega ( [u,v] ) </math> — значение дифференциала <math>1</math>-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
- <math>\ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p)</math> — где верхние индексы <math>k</math> и <math>p</math> обозначают порядки соответствующих форм.
- Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
- k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой <math>(k-1)</math>-формы.
- Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых k-форм по точным k-формам называется <math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
- Внутренней производной формы <math>\omega</math> степени <math>n</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма
- <math>i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_{n-1}) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_{n-1})</math>
Свойства
- Для любой формы справедливо <math>d(d\omega)=0</math>.
- Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
- <math>d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
- Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
- <math>i_X (\omega^k \wedge\omega^p) = (i_X\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(i_X \omega^p)</math>
- Формулы Картана. Для произвольной формы <math>\omega</math> и векторных полей <math>X,Y,Z</math> выполняются следующие соотношения
- <math>\mathcal{L}_Xd\omega = d\mathcal{L}_X \omega,</math>
- <math>\mathcal{L}_X\omega = i_Xd\omega + d i_X \omega,</math> (волшебная формула Картана)
- <math>\mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\omega -\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\omega= \mathcal{L}_{[X,Y]} \omega,</math>
- <math>\mathcal{L}_X i_Y\omega- i_Y\mathcal{L}_X\omega = i_{[X,Y]}\omega,</math>
- <math>i_X i_Y\omega+ i_Yi_X\omega = 0,</math>
- где <math>\mathcal{L}</math> обозначает производную Ли.
Примеры
- С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке <math>p</math> многообразия <math>M</math> и отображающий элементы касательного пространства <math>T_p (M)</math> в множество вещественных чисел <math>\R</math>:
- <math>\omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R</math>
- Форма объёма — пример <math>n</math>-формы на <math>n</math>-мерном многообразии.
- Симплектическая форма — замкнутая 2-форма <math>\omega</math> на <math>2n</math>-многообразии, такая что <math>\omega^n\not=0</math>.
Применения
Векторный анализ
Шаблон:Main Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть <math>I</math> — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а <math>*</math> — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:
- <math>\operatorname{rot}\,v = *\,d\,I (v)</math>
- <math>\operatorname{div}\,v = *^{-1} d\,* (v)</math>
Дифференциальные формы в электродинамике
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:
- <math>\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.</math>
Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид
- <math>\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.</math>
В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как
- <math>\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}</math>
- <math>\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}</math>
где <math>*</math> — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
2-форма <math>* \mathbf{F}</math> также называется 2-формой Максвелла.
Гамильтонова механика
Шаблон:Main С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие <math>M</math> с заданными на нём симплектической формой <math>\omega</math> и функцией <math>H</math>, называемой функцией Гамильтона. <math>\omega</math> задаёт в каждой точке <math>X \in M</math> изоморфизм <math>I</math> кокасательного <math>T^{*}_{X}M</math> и касательного <math>T_{X}M</math> пространств по правилу
- <math>dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M</math>,
где <math>dH</math> — дифференциал функции <math>H</math>. Векторное поле <math>I dH</math> на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций <math>F</math> и <math>G</math> на <math>M</math> определяется по правилу
- <math>[F, G] = \omega( I dF, I dG)</math>
Вариации и обобщения
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задаётся полилинейная антисимметричная функция от <math>k</math> векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на <math>M</math> со значениями в векторном расслоении <math>\pi\colon E \to M</math> определяются как сечения тензорного произведения расслоений
- <math>\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E</math>
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение <math>T M</math>.
Литература
См. также
Шаблон:Дифференциальное исчисление
