Русская Википедия:Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они чётко сформировали основные положения и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.
Дифференциальное исчисление базируется на таких важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная
Шаблон:Main Шаблон:Проще Пусть функция <math>g(h)</math> определена в окрестности <math>h=0</math> и для любого <math>\epsilon</math> > 0 найдётся такое <math>\delta</math>, что
- <math>|g(h)/h^n|<\epsilon</math>, лишь только <math> |h|<\delta,</math>
тогда говорят, что <math>g(h)</math> — бесконечно малое порядка <math>o(h^n)</math>.
Пусть <math>f(x)</math> — вещественнозначная функция, заданная на отрезке <math>(a,b)</math>. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале <math>(a,b)</math>, если
- <math>f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)</math>
для любого <math>x\in(a,b)</math> и любого <math>n</math>. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке <math>(a,b)</math> функции образуют кольцо гладких функций <math>C^\infty(a,b)</math>.
Коэффициенты <math>f^{(n)}(x)</math>
- <math>f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)</math>
Эти функции называют производными функции <math>f(x)</math>. Первая производная может быть вычислена как предел
- <math>f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>.
Оператор, сопоставляющий функции <math>f(x)</math> её производную <math>f'(x)</math> обозначают как
- <math>D= \frac{d}{dx}</math>
При этом для двух гладких функций f и g верно
- <math>D (f+g)= Df + Dg</math> и <math>D(fg)=fDg+ gDf</math>
Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.
Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке <math>(a,b)</math>, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.
Касательная прямая
- <math>y=f(c)+f'(c)(x-c)</math>
пересекает кривую
- <math>y=f(x)</math>
в точке <math>(c,f(c))</math> таким образом, что знак выражения
- <math>f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)</math>
при условии <math>f(c)\not =0</math> всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая
- <math>y=f(x)</math>
лежит по одну сторону от прямой
- <math>y=f(c)+f'(c)(x-c)</math>
Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке <math>x=c</math> (по Б. Кавальери). Точку <math>x=c</math>, в которой кривая
- <math>y=f(x)</math>
не лежит по одну сторону от прямой
- <math>y=f(c)+f'(c)(x-c)</math>
называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.
Точки экстремума
Точка <math>x=c</math> называется точкой локального максимума (минимума), если
- <math>f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )</math>
для всех достаточно малых по модулю <math>h</math>. Из соотношения
- <math>f'(c)h+\frac{1}{2}f(c)h^2+ o(h^2)<0 </math>
сразу видно, что <math>f'(c)=0</math> — необходимое условие максимума, а <math>f(c)<0</math> — достаточное условие максимума. Условие <math>f(c)=0</math> выделяет точки максимума, минимума и перегиба.
Непрерывные функции
Пусть <math>f</math> определена и на концах интервала <math>[a,b]</math>; говорят, что она непрерывна на <math>[a,b]</math>, если для любого <math>\epsilon</math> найдётся такое <math>\delta</math>, что
- <math>|f(x)-f(x+h)|<\epsilon</math>, лишь только <math> |h|<\delta,</math>
и точки <math>x,\, x+h</math> не выходят за границы интервала <math>[a,b]</math>. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале <math>[a,b]</math> функции образуют кольцо непрерывных функций <math>C[a,b]</math>.
История
В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан «Трактат об уравнениях», в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.
Основные теоремы дифференциального исчисления
Кольцо непрерывных на <math>[a,b]</math> и гладких на <math>(a,b)</math> функций обладает рядом важных свойств:
- Теорема Ролля: если <math>f(a)=f(b)</math>, то имеется точка <math>c\in (a,b)</math> максимума или минимума, в которой <math>f'</math> обращается в нуль.
- Теорема Лагранжа: существует такая точка <math>c\in (a,b)</math>, что
- <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)</math>
- Теорема Коши: если <math>g'\not =0</math> на <math>(a,b)</math>, то существует такая точка <math>c\in (a,b)</math>, что
- <math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>
Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке <math>(a',b')\subset (a,b)</math> найдутся такие точки <math>c_n</math>, что
- <math>f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+\frac{1}{2!}f(a')(b'-a')^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(a')(b'-a')^n + R_n</math>
где
- <math>R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c_n)(b'-a')^{n+1}</math>
При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке <math>b'</math> по известным значениям функции и её производных в точке <math>a'</math>.
Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если <math>f(b)=g(b)=0</math> или <math>f(b)=g(b)=\infty</math>, и <math>g'\not =0</math> на <math>(a,b)</math>, то
- <math>\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},</math>
причём существование второго предела влечёт существование первого.
См. также
- Вариационное исчисление
- Анализ функций многих переменных
- Интегральное исчисление
- Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
Литература
- Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
- Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. — Москва: Советская энциклопедия, 1977.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1981.
Шаблон:Вс Шаблон:Rq Шаблон:Перевести
