Русская Википедия:Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Скалярные операторы

Пусть <math>\Bbbk</math> — поле, <math>A</math> — алгебра над полем <math>\Bbbk</math>, коммутативная и с единицей и <math>\Delta\colon A\to A</math> — <math>\Bbbk</math>-линейное отображение, <math>\Delta\in\mathrm{Hom}_\Bbbk(A,A)</math>. Всякий элемент алгебры <math>a\in A</math> можно понимать как оператор умножения: <math>a(b)=ab,\ b\in A</math>. Операторы <math>a</math> и <math>\Delta</math>, вообще говоря, не коммутируют и равенство <math>a\circ\Delta-\Delta\circ a=[a,\Delta]=0</math> будет выполняться в том и только том случае, когда <math>\Delta</math> — <math>A</math>-гомоморфизм.

Определение 1. <math>\Delta\in\mathrm{Hom}_\Bbbk(A,A)</math> называется дифференциальным оператором (ДО) порядка <math>\le n</math> из <math>A</math> в <math>A</math>, если для любых <math>a_0,\dots,a_n\in A</math>

<math>[a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,\Delta]\ldots]]]=0.</math>

Множество всех ДО порядка <math>\le n</math> из <math>A</math> в <math>A</math> обозначается <math>\mathrm{Diff}_nA</math>. Сумма двух ДО порядка <math>\le n</math> будет снова ДО порядка <math>\le n</math> и множество <math>\mathrm{Diff}_nA</math> устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры <math>A</math>, поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над <math>A</math>.

Дифференцирования

Точками алгебры <math>A</math> называются <math>\Bbbk</math>-гомоморфизмы из <math>A</math> в <math>\Bbbk</math>. Обозначим множество всех точек алгебры <math>A</math>, снабженное топологией Зарисского, через <math>\vert A\vert</math>. Элементы алгебры <math>A</math> можно понимать как функции на пространстве <math>\vert A\vert</math>, положив <math>a(z)=z(a),\ z\in\vert A\vert</math>.

Определение 2. Отображение <math>\Delta_z\colon A\to \Bbbk</math> называется касательным вектором к пространству <math>\vert A\vert</math> в~точке <math>z\in \vert A\vert</math>, если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

<math> \Delta_z(fg)=f(z)\Delta_z(g)+g(z)\Delta_z(f),\quad f,g\in A. </math>

Множество <math>T_z\vert A\vert</math> всех касательных векторов в~точке <math>z\in \vert A\vert</math> обладает естественной структурой векторного пространства над <math>\Bbbk</math>. Оно называется касательным пространством пространства <math>\vert A\vert</math> в точке <math>z</math>.

Определение 3. Отображение <math>\Delta\colon A\to A</math> называется дифференцированием алгебры <math>A</math> со значениями в <math>A</math>, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

<math>\Delta(fg)=f\Delta(g)+g\Delta(f),\quad f,g\in A.</math>

Множество <math>D(A)</math> всех дифференцирований алгебры <math>A</math> со значениями в <math>A</math> обладает естественной структурой левого <math>A</math>-модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование <math>\Delta</math> определяет семейство касательных векторов <math>\Delta_z</math> для всех точек <math>z\in\vert A\vert</math>: <math>\Delta_z(f)=(\Delta(f))(z)</math>.

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка <math>\le 1</math>:

<math>D(A)= \{\Delta\in \mathrm{Diff}_1A\ \vert\ \Delta(k)=0\ \forall k\in\Bbbk\}</math>.

Определен естественный изоморфизм левых <math>A</math>-модулей

<math>\mathrm{Diff}_1A=D(A)+A.</math>

Гладкие функции

Если <math>A=C^\infty(M)</math> — алгебра гладких функций на многообразии <math>M</math>, то <math>\vert C^\infty(M)\vert</math> естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что <math>\vert C^\infty(M)\vert=M</math>.

Теорема. Пусть <math>\Delta\in\mathrm{Diff}_lA,\ \nabla\in \mathrm{D}(A)</math> и <math>x_1,\dots,x_n</math> — система локальных координат в некоторой окрестности <math>U\subset M</math>. Тогда ограничения <math>\Delta</math> и <math>\nabla</math> на <math>U</math> могут быть записаны в следующем виде

<math>\nabla\big|_U=\sum_{i=0}^n\alpha_i\dfrac{\partial}{\partial x_i},\quad \alpha_i\in C^\infty (U)</math>
<math>\Delta\big|_U=\sum_{|\sigma|=0}^l\alpha_\sigma\dfrac{\partial^{|\sigma|}}{\partial x^\sigma},\quad \alpha_\sigma\in C^\infty (U)</math>

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры <math>C^\infty(M)</math> — это векторные поля на <math>M</math>.

Общий случай

Пусть <math>P,\ Q</math> — модули над <math>A</math>. Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. <math>\Bbbk </math>-гомоморфизм <math>\Delta\colon Q\to P</math> называется линейным дифференциальным оператором порядка <math>\le n</math> из <math>Q</math> в~<math>P</math>, если для любых <math>a_0,\dots,a_n\in A</math>

<math>[a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,\Delta]\ldots]]]=0</math>

Определение 5. Отображение <math>\Delta\colon A\to A</math> называется дифференцированием алгебры <math>A</math> со значениями в <math>P</math>, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

<math>\Delta(fg)=f\Delta(g)+g\Delta(f),\quad f,g\in A.</math>

Множество <math>\mathrm{Diff}_n(P,Q)</math> всех ДО порядка <math>\le n</math> из <math>Q</math> в <math>P</math> является бимодулем над <math>A</math>, а множество <math>\mathrm{D}(P)</math> всех дифференцирований <math>A</math> в <math>P</math> — левым <math>A</math>-модулем.


Если <math>A=C^\infty(M)</math> — алгебра гладких функций на многообразии <math>M</math>, то проективные конечнопорождённые <math>A</math>-модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над <math>M</math>. В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация

Функторы <math>\mathrm{Diff}_n(P,\quad)</math> и <math>\mathrm{D}=\mathrm{D}(\quad)</math> представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные <math>A</math>-модуль <math>\Lambda</math> и дифференцирование <math>d\colon A\to\Lambda</math>, такие, что для любого <math>A</math>-модуля <math>Q</math> имеет место естественный изоморфизм

<math>\mathrm{D}(Q)=\mathrm{Hom}_A(\Lambda,Q),\quad \mathrm{Hom}_A(\Lambda,Q)\ni h \leftrightarrow h\circ d\in \mathrm{D}(Q).</math>

2. Существуют единственные <math>A</math>-модуль <math>\mathcal{J}^n(P)</math> и ДО <math>j_n\colon P\to \mathcal{J}^n(P)</math> порядка <math>\le n</math>, такие, что для любого <math>A</math>-модуля <math>Q</math> имеет место естественный изоморфизм

<math>\mathrm{Diff}_n(P,Q)=\mathrm{Hom}_A(\mathcal{J}^n(P),Q),\quad \mathrm{Hom}_A(\mathcal{J}^n(P),Q)\ni h \leftrightarrow h\circ j_n\in \mathrm{Diff}_n(P,Q).</math>

Дифференцирование <math>d</math> и ДО <math>j_n</math> называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка <math>\le n</math> соответственно, а модули <math>\Lambda</math> и <math>\mathcal{J}^n(P)</math> — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка <math>n</math>. (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули <math>\mathcal{J}^n(P)</math> и <math>\Lambda</math> довольно просто описываются "на пальцах". Именно, <math>A</math>-модуль <math>\mathcal{J}^n(P)</math> порожден всевозможными элементами вида <math>j_n(p),\ p\in P</math>, для которых выполнены следующие соотношения:

<math>j_n(kp)=kj_n(p)\ \forall k\in\Bbbk,\ p\in P</math>,
<math>\big([a_n,[a_{n-1},[\ldots[a_0,j_n]\ldots]]]\big)(p)=0\ \forall p\in P,\ a_0,\dots,a_n\in A</math>,
где <math>\big([a_0,j_n]\big)(p)=a_0j_n(p)-j_n(a_0p),\quad \big([a_1[a_0,j_n]]\big)(p)=a_1a_0j_n(p)-a_1j_n(a_0p)-a_0j_n(a_1p)+j_n(a_1a_0p)</math>, и так далее.

Аналогично, <math>A</math>-модуль <math>\Lambda</math> порожден всевозможными элементами вида <math>da,\ a\in A</math>, для которых выполнены следующие соотношения:

<math>d(ka)=kda\ \forall k\in\Bbbk,\ a\in A</math>,
<math>d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A</math>.

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры <math>A=C^\infty(M)</math> дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии <math>M</math>, а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия <math>M</math>. Например, пусть <math>M=\R^1</math>, дифференциальная форма <math>e^xdx-de^x\in \Lambda</math> отлична от нуля, но <math>(e^xdx-de^x)\big|_z=0\ \forall z\in \R^1</math>. Модули над <math>C^\infty(M)</math>, не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого <math>C^\infty(M)</math>-модуля <math>S</math> множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается <math>G(S)</math>. Модули <math>G(\Lambda)</math> и <math>G(\mathcal{J}^n(P))</math>, где <math>P</math> — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов <math>\mathrm{D}</math> и <math>\mathrm{Diff}_n(P,\quad)</math> в категории геометрических модулей над <math>A=C^\infty(M)</math>. Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля[1], С. Судзуки[2] и А. М. Виноградова[3]. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ P. Gabriel, Construction de préschémas-quotients (d’après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), Lect. Notes in Math. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
  2. ↑ Satoshi Suzuki, Differentials of commutative rings, Queen's University papers in pure and applied mathematics, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
  3. ↑ А. М. Виноградов, Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов Шаблон:Wayback, ДАН 205:5 (1972), 1025-1028.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Дифференциальное_исчисление_над_коммутативными_алгебрами&oldid=9757212