Русская Википедия:Дифференциальное сечение рассеяния

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Дифференциальное сечение рассеяния — отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла dW, к плотности потока падающих частиц.

Классическое рассеяние

Если рассматривать классическую задачу, когда одна частица рассеивается от одной неподвижной частицы-мишени, то обычно используется сферическая система координат. При этом цель размещается в начале координат, а Шаблон:Math этой системы координат совпадает с падающим лучом. Угол Шаблон:Math — это угол рассеяния, измеряемый между падающим лучом и рассеянным лучом, а Шаблон:Math — азимутальный угол.

Файл:Differential cross section.svg

Прицельный параметр Шаблон:Math представляет собой перпендикулярное смещение траектории падающей частицы, а улетающая частица летит под углом Шаблон:Math. Для данного взаимодействия (кулоновского, магнитного, гравитационного, контактного и так далее) прицельный параметр и угол рассеяния имеют определённую взаимно однозначную функциональную зависимость друг от друга. Обычно прицельный параметр нельзя ни контролировать, ни измерять от события к событию, и предполагается, что он принимает все возможные значения при усреднении по множеству событий рассеяния. Дифференциальный размер поперечного сечения представляет собой элемент площади в плоскости прицельного параметра, то есть Шаблон:Math . Дифференциальный угловой диапазон рассеянной частицы под углом Шаблон:Math представляет собой элемент телесного угла Шаблон:Math. Дифференциальное сечение представляет собой частное этих величин, Шаблон:Math

Это функция угла рассеяния (и, следовательно, также прицельного параметра), а также других наблюдаемых величин, таких как импульс падающей частицы. Дифференциальное поперечное сечение всегда считается положительным, даже если более высокие параметры удара обычно вызывают меньшее отклонение. В цилиндрически симметричных ситуациях (относительно оси пучка) азимутальный угол Шаблон:Math не изменяется в процессе рассеяния, и дифференциальное сечение можно записать как

<math> \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d}(\cos \theta)} =\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega} \,\mathrm{d}\varphi </math> .

В других ситуациях, когда процесс рассеяния не является азимутально-симметричным, например, когда луч или частицы мишени обладают магнитными моментами, ориентированными перпендикулярно оси луча, дифференциальное сечение также должно быть выражено как функция от азимутального угла.

При рассеянии частиц падающего потока Шаблон:Math от неподвижной мишени, состоящей из множества частиц, дифференциальное сечение Шаблон:Math под углом Шаблон:Math связано с потоком детектирования рассеянных частиц Шаблон:Math в частицах в единицу времени соотношением

<math>\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega}(\theta,\varphi) = \frac{1}{n t \Delta\Omega} \frac{F_\text{out}(\theta,\varphi)}{F_\text{inc}}.</math>

Здесь Шаблон:Math — конечный угловой размер детектора (единицы СИ: ср), Шаблон:Math — плотность числа частиц мишени (м−3), а Шаблон:Math — толщина неподвижной цели (м). Эта формула предполагает, что цель достаточно тонкая, чтобы каждая частица луча взаимодействовала не более чем с одной частицей цели.

Полное сечение Шаблон:Math можно восстановить путём интегрирования дифференциального сечения Шаблон:Math по полному телесному углу (Шаблон:Math стерадиан):

<math>\sigma = \oint_{4\pi} \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} \, \mathrm d \Omega = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega} \sin \theta \, \mathrm d \theta \, \mathrm d \varphi.</math>

Обычно опускают определение «дифференциал», когда тип поперечного сечения можно вывести из контекста. В этом случае Шаблон:Math можно называть интегральным поперечным сечением или полным поперечным сечением . Последний термин может сбивать с толку в контекстах, где задействовано несколько событий, поскольку «общее» также может относиться к сумме поперечных сечений по всем событиям.

Дифференциальное сечение является чрезвычайно полезной величиной во многих областях физики, поскольку его измерение может выявить большой объём информации о внутренней структуре целевых частиц. Например, дифференциальное сечение резерфордского рассеяния явилось убедительным доказательством существования атомного ядра. Вместо телесного угла в качестве независимой переменной дифференциальных сечений можно использовать переданный импульс.


Дифференциальные сечения неупругого рассеяния содержат резонансные пики, указывающие на создание метастабильных состояний и содержащие информацию об их энергии и времени жизни состояний.

Квантовое рассеяние

В не зависящем от времени формализме квантового рассеяния в качестве начальной волновой функции (до рассеяния) берётся плоская волна с определённым импульсом Шаблон:Math :

<math>\phi_-(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; e^{i k z},</math>

где Шаблон:Math и Шаблон:Math — относительные координаты между снарядом и целью. Стрелка указывает, что это описывает только асимптотическое поведение волновой функции, когда снаряд и цель находятся слишком далеко друг от друга, чтобы взаимодействие могло бы иметь какой-либо эффект.

Ожидается, что после рассеяния волновая функция будет иметь следующую асимптотику:

<math>\phi_+(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; f(\theta,\phi) \frac{e^{i k r}}{r},</math>

где Шаблон:Math — некоторая функция угловых координат, известная как амплитуда рассеяния. Эта общая форма действительна для любого короткодействующего сохраняющего энергию взаимодействия. Это неверно для дальнодействующих взаимодействий, поэтому при работе с электромагнитными взаимодействиями возникают дополнительные сложности.

Полная волновая функция системы ведёт себя асимптотически как сумма двух вкладов

<math>\phi(\mathbf r) \;\stackrel{r \to \infty}{\longrightarrow}\; \phi_-(\mathbf r) + \phi_+(\mathbf r).</math>

Дифференциальное сечение связано с амплитудой рассеяния по формуле:

<math>\frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d \Omega}(\theta, \phi) = \bigl|f(\theta, \phi)\bigr|^2.</math>

Что имеет простую интерпретацию как плотность вероятности нахождения рассеянного снаряда под заданным углом.

Связь с S-матрицей

Если приведённые массы и импульсы сталкивающейся системы равны Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math, Шаблон:Math до и после столкновения соответственно, дифференциальное сечение определяется выражением 

<math>\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left(2\pi\right)^4 m_i m_f \frac{p_f}{p_i} \bigl|T_{fi}\bigr|^2,</math>

Шаблон:Math-матрица определяется формулой

<math>S_{fi} = \delta_{fi} - 2\pi i \delta\left(E_f - E_i\right) \delta\left(\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_f\right) T_{fi}</math>

в терминах S-матрицы. Здесь Шаблон:Math — дельта-функция Дирака. Вычисление S-матрицы — основная цель теории рассеяния.

Литература