Русская Википедия:Дифференциальное тождество Бьянки

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

<math>(1) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} + \nabla_j R^s_{\;rki} + \nabla_k R^s_{\;rij} = 0,</math>

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку <math>P</math> и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка <math>P</math> произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.

В точке <math>P</math> мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке <math>P</math> имеем

<math>(2) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i R^s_{\;rjk}.</math>

Поскольку

<math>(3) \qquad R^s_{\;rjk} = \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_k \Gamma^s_{jr} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{kr} - \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{jr},</math>

то в точке <math>P</math> имеем

<math>(4) \qquad \nabla_i R^s_{\;rjk} = \partial_i \partial_j \Gamma^s_{kr} - \partial_i \partial_k \Gamma^s_{jr}.</math>

Циклически переставляя в (4) индексы <math>ijk</math>, получим ещё два равенства:

<math>(5) \qquad \nabla_j R^s_{\;rki} = \partial_j \partial_k \Gamma^s_{ir} - \partial_j \partial_i \Gamma^s_{kr},</math>

<math>(6) \qquad \nabla_k R^s_{\;rij} = \partial_k \partial_i \Gamma^s_{jr} - \partial_k \partial_j \Gamma^s_{ir}.</math>

Легко видеть, что при сложении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения получится левая часть выражения (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.

См. также

• Алгебраическое тождество Бьянки