Русская Википедия:Дифференциальное уравнение Бернулли

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

<math>y'+ a(x)y = b(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1</math>

называется уравнением Бернулли (при <math>n=0</math> или <math>n=1</math> получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При <math>n=2</math> является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

<math> y^n,</math>

получим

<math>\frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{1-n} = b(x).</math>

Делая замену

<math>z = y ^ {1-n}</math>

и дифференцируя, получаем:

<math>\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}.</math>

Это уравнение приводится к линейному:

<math>\frac{dz}{dx} + (1-n)a(x) z = (1-n)b(x)</math>

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

<math>y = uv,</math>

тогда:

<math>\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n.</math>

Подберем <math>v(x) \not\equiv 0</math> так, чтобы было

<math>\dot{v} + a(x) v = 0,</math>

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения <math>u</math> получаем уравнение <math>\frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1}</math> — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>

разделим на <math>y^2,</math> получаем:

<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2.</math>

Замена переменных

<math>w = \frac{1}{y}</math>

дает:

<math>w' = \frac{-y'}{y^2},</math>

<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2.</math>

<math>M(x)= e^{-2\int \frac{1}{x}dx} = x^{-2}.</math>

Делим на <math>M(x)</math>,

<math>w'x^2 + 2xw = x^4,</math>

<math>\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx</math>

<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>

<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C.</math>

Результат:

<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}.</math>

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.