Русская Википедия:Дифференциальные операторы в различных системах координат
Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в различных системах координат.
Общее выражение
Общее выражение для оператора ∇, действующего на векторное поле A в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:
<math> \nabla \circ\mathbf{A}=\sum_{m}i_m\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}= i_1\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_1}+i_2
\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_2}+i_3\circ{\partial \mathbf{A} \over \partial r_3}</math>,
где "<math> \circ</math>" - любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇:
- " " - градиент;
- " · " - дивергенция;
- " × " - ротор.
Элементы <math> \partial r_m</math> в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:
<math> d\mathbf{r}=\sum_{m}i_m\partial r_m= i_1 \partial r_1+i_2 \partial r_2+i_3 \partial r_3</math>
Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math> по проекции радиус-вектора от всего вектора <math> \mathbf{A}</math> (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на <math> {\partial \mathbf{A} \over \partial r_m}</math>.
При этом достаточно знать выражения:
- в цилиндрических координатах: <math> {\partial i_\rho \over \partial \varphi}=i_\varphi</math> и <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_\rho</math>;
- в сферических координатах: <math> {\partial i_r \over \partial \theta}=i_\theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \theta}=-i_r</math>, <math> {\partial i_r \over \partial \varphi}=i_\varphi \sin \theta</math>, <math> {\partial i_\theta \over \partial \varphi}=i_\varphi \cos \theta</math> и <math> {\partial i_\varphi \over \partial \varphi}=-i_r \sin \theta-i_\theta \cos \theta</math>.
Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:
<math> \nabla \cdot\mathbf{A}=i_\rho\cdot {\partial \over \partial \rho}(i_\rho A_\rho +i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)+ {1 \over \rho}i_\varphi\cdot {\partial \over \partial \varphi}(i_\rho A_\rho +i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)+i_z\cdot {\partial \over \partial z}(i_\rho A_\rho +i_\varphi A_\varphi+i_z A_z)=</math>
<math> ={\partial A_\rho\over \partial \rho}+ \biggl({1 \over \rho}i_\varphi\cdot {\partial i_\rho \over \partial \varphi} A_\rho\biggr)+ {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}= \biggl({\partial A_\rho\over \partial \rho}+{A_\rho\over \rho}\biggr)+ {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}=</math>
<math> ={1 \over \rho}{\partial (\rho A_\rho)\over \partial \rho}+ {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}+{\partial A_z\over \partial z}</math>
Таблица операторов
Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, Шаблон:Math обозначает угол между осью Шаблон:Math и радиус-вектором точки, Шаблон:Math — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость Шаблон:Math и осью Шаблон:Math.
| Оператор | Прямоугольные координаты (Шаблон:Math) |
Цилиндрические координаты (Шаблон:Math) |
Сферические координаты (Шаблон:Math) |
Параболические координаты (Шаблон:Math) |
|---|---|---|---|---|
| Формулы преобразования координат | <math>\begin{matrix}
\rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\
\varphi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
z & = & z \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
x & = & \rho\cos\varphi \\
y & = & \rho\sin\varphi \\
z & = & z \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
x & = & r\sin\theta\cos\varphi \\
y & = & r\sin\theta\sin\varphi \\
z & = & r\cos\theta \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
x & = & \sigma \tau\\
y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
z & = & z \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
r & = & \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\
\theta & = & \arccos \left( z/r \right) \\
\varphi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\
\end{matrix}</math> |
<math>\begin{matrix}
r & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\
\theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\
\varphi & = & \varphi \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\rho & = & r\sin{\theta} \\
\varphi & = & \varphi\\
z & = & r\cos{\theta} \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\rho\cos\varphi & = & \sigma \tau\\
\rho\sin\varphi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\
z & = & z \end{matrix}</math>
| |
| Радиус-вектор произвольной точки | <math>x\mathbf{\hat x} + y\mathbf{\hat y} + z\mathbf{\hat z}</math> | <math>\rho\boldsymbol{\hat \rho} + z\boldsymbol{\hat z}</math> | <math>r\boldsymbol{\hat r}</math> | <math>\frac{1}{2}\sqrt{ \sigma^{2} + \tau^{2} }\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{2}\sqrt{ \sigma^{2} + \tau^{2} }\tau\boldsymbol{\hat \tau} + z\mathbf{\hat z}</math> |
| Связь единичных векторов | <math>\begin{matrix}
\boldsymbol{\hat\rho} & = & \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
\boldsymbol{\hat\varphi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\
\mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\mathbf{\hat x} & = & \cos\varphi\boldsymbol{\hat\rho}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
\mathbf{\hat y} & = & \sin\varphi\boldsymbol{\hat\rho}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
\mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
\mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\
\mathbf{\hat z} & = & \cos\theta \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta \boldsymbol{\hat\theta} \\
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\boldsymbol{\hat \sigma} & = & \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
\boldsymbol{\hat\tau} & = & \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\
\mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z}
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\mathbf{\hat r} & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\
\boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\
\boldsymbol{\hat\varphi} & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho}
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\mathbf{\hat r} & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{ z}{r}\mathbf{\hat z} \\
\boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z}{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\
\boldsymbol{\hat\varphi} & = & \boldsymbol{\hat\varphi}
\end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
\boldsymbol{\hat\varphi} & = & \boldsymbol{\hat\varphi} \\
\mathbf{\hat z} & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\
\end{matrix}</math>
|
. | |
| Векторное поле <math>\mathbf{A}</math> | <math>A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z}</math> | <math>A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} + A_z\boldsymbol{\hat z}</math> | <math>A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi}</math> | <math>A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\varphi\boldsymbol{\hat z}</math> |
| Градиент <math>\nabla f</math> | <math>{\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y}
+ {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z}</math>
|
<math>{\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho}
+ {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}
+ {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}</math>
|
<math>{\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r}
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta}
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
|
<math> \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}</math> |
| Дивергенция <math>\nabla \cdot \mathbf{A}</math> | <math>{\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}</math> | <math>{1 \over\rho}{\partial \left(\rho A_\rho \right) \over \partial \rho}
+ {1 \over\rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}
+ {\partial A_z \over \partial z}</math>
|
<math>{1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r}
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left( A_\theta\sin\theta \right)
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}</math>
|
<math> \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\sigma \over \partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\tau \over \partial \tau} + {\partial A_z \over \partial z}</math> |
| Ротор <math>\nabla \times \mathbf{A}</math> | <math>\begin{matrix}
\left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\
\left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\
\left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}
- \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & + \\
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial (\rho A_\varphi) }{\partial \rho}
- \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
{1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)
- {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
{1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
- {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\
{1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & \ \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \tau}
- {\partial A_\tau \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\
\left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \sigma}- {\partial A_\sigma \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\
\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}\left({\partial \left( s A_\varphi \right) \over \partial s}
- {\partial A_s \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
|
| Оператор Лапласа <math>\Delta f = \nabla^2 f</math> | <math>{\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}</math> | <math>{1 \over\rho}{\partial \over \partial\rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right)
+ {1 \over\rho^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2}</math>
|
<math>{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)
\!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
\!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math>
|
<math> \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
\left( \frac{\partial^{2} f}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} </math> |
| Векторный оператор Лапласа <math>\Delta \mathbf{A}</math> | <math>\begin{matrix} \Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z}= \\
\biggl({\partial^2 A_x \over \partial x^2} + {\partial^2 A_x \over \partial y^2} + {\partial^2 A_x \over \partial z^2}\biggr)\mathbf{\hat x}+ \\ \biggl({\partial^2 A_y \over \partial x^2} + {\partial^2 A_y \over \partial y^2} + {\partial^2 A_y \over \partial z^2}\biggr)\mathbf{\hat y}+ \\ \biggl({\partial^2 A_z \over \partial x^2} + {\partial^2 A_z \over \partial y^2} + {\partial^2 A_z \over \partial z^2}\biggr)\mathbf{\hat z}\ \end{matrix} </math> |
<math>\begin{matrix}
\left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2}
- {2 \over \rho^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\
\left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over \rho^2}
+ {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & + \\
\left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}</math>
|
<math>\begin{matrix}
\left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2}
- {2 \over r^2\sin\theta}{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right) \over \partial\theta}
- {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\
\left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta}
+ {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta}
- {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\
\left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r^2\sin^2\theta}
+ {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
+ {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & \end{matrix}</math>
|
? |
| Элемент длины | <math>d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z}</math> | <math>d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat\rho} + \rho d\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} + dz\boldsymbol{\hat z}</math> | <math>d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\varphi\boldsymbol{\hat \varphi}</math> | <math>d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}</math> |
| Элемент ориентированной площади | <math>\begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\
&dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\ &dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix}</math> |
<math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \rho\, d\varphi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\ & d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \varphi} + \\ & \rho\,d\rho d\varphi \,\mathbf{\hat z} \end{matrix}</math> |
<math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\varphi \,\mathbf{\hat r} + \\ & r\sin\theta \,dr\,d\varphi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\ & r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \varphi} \end{matrix}</math> |
<math>\begin{matrix}
d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}\, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\ & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\ & \sigma^{2} + \tau^{2} d\sigma\, d\tau \,\mathbf{\hat z} \end{matrix}</math> |
| Элемент объёма | <math>dV = dx\,dy\,dz</math> | <math>dV = \rho\, d\rho\, d\varphi\, dz</math> | <math>dV = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\varphi</math> | <math>dV = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz</math> |
Некоторые свойства
Выражения для операторов второго порядка:
- <math>\mathrm{div\ grad}\; f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f</math> (Оператор Лапласа)
- <math>\mathrm{rot\ grad}\; f = \nabla \times (\nabla f) = 0</math>
- <math>\mathrm{grad\ div}\; \mathbf{A} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) </math>
- <math>\mathrm{div\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>
- <math>\mathrm{rot\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})
= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \Delta \mathbf{A}</math> (используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)
- <math>\Delta (f g) = \mathrm{div\ grad}\ (fg)= \mathrm{div}\ (f \mathrm{grad}\ g+g \mathrm{grad}\ f) = f \Delta g + 2 \mathrm{grad}\ f \cdot \mathrm{grad}\ g + g \Delta f</math>
См. также
- Оператор Д’Аламбера
- Ортогональные координаты
- Криволинейные координаты
- Метод координат
- [[|en]] (Vector fields in cylindrical and spherical coordinates)
Шаблон:Дифференциальное исчисление
