Русская Википедия:Дифференциал (дифференциальная геометрия)
Шаблон:Значения Дифференциа́л (от Шаблон:Lang-la — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Обозначения
Обычно дифференциал <math>f</math> обозначается <math>df</math>. Некоторые авторы предпочитают обозначать <math>\operatorname{d}f</math> шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке <math>x</math> обозначается <math>d_xf</math>, а иногда <math>df_x</math> или <math>df[x]</math>. (<math>d_xf</math> есть линейная функция на касательном пространстве в точке <math>x</math>.)
Если <math>v</math> есть касательный вектор в точке <math>x</math>, то значение дифференциала на <math>v</math> обычно обозначается <math>df(v)</math>, в этом обозначении <math>x</math> излишне, но обозначения <math>d_xf(v)</math>, <math>df_x(v)</math> и <math>df[x](v)</math> также правомерны.
Используется так же обозначение <math>f_*</math>; последнее связано с тем, что дифференциал <math>f\colon M\to N</math> является естественным поднятием <math>f</math> на касательные расслоения к многообразиям <math>M</math> и <math>N</math>.
Определения
Для вещественнозначных функций
Пусть <math>M</math> — гладкое многообразие и <math>f\colon M\to \R</math> гладкая функция. Дифференциал <math>f</math> представляет собой 1-форму на <math>M</math>, обычно обозначается <math>df</math> и определяется соотношением
- <math>df(X)=d_pf(X)=X f,</math>
где <math>X f</math> обозначает производную <math>f</math> по направлению касательного вектора <math>X</math> в точке <math>p\in M</math>.
Для отображений гладких многообразий
Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие <math>F\colon M\to N</math> есть отображение между их касательными расслоениями, <math>dF\colon TM\to TN</math>, такое что для любой гладкой функции <math>g\colon N\to\R</math> имеем
- <math>[dF(X)]g=X(g\circ F),</math>
где <math>Xf</math> обозначает производную <math>f</math> по направлению <math>X</math>. (В левой части равенства берётся производная в <math>N</math> функции <math>g</math> по <math>dF(X)</math>; в правой — в <math>M</math> функции <math>g\circ F</math> по <math>X</math>).
Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.
Связанные определения
- Точка <math>x</math> многообразия <math>M</math> называется критической точкой отображения <math>f: M \to N</math>, если дифференциал <math>d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N</math> не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
- Например, критические точки функций <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — в точности стационарные точки. Для функций <math>\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
- В этом случае <math>f(x)</math> называется критическим значением <math>f</math>.
- Точка <math>y \in N</math> называется регулярной, если она не является критической.
- Гладкое отображение <math>F\colon M\to N</math> называется субмерсией, если для любой точки <math>x\in M</math>, дифференциал <math>d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N</math> сюръективен.
- Гладкое отображение <math>F\colon M\to N</math> называется гладким погружением, если для любой точки <math>x\in M</math>, дифференциал <math>d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N</math> инъективен.
Свойства
- Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
- <math>d(F\circ G)=dF\circ dG</math> или <math>d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG</math>
Примеры
- Пусть в открытом множестве <math>\Omega\subset\R</math> задана гладкая функция <math>f\colon \Omega\to\R</math>. Тогда <math>df=f'\,dx</math>, где <math>f'</math> обозначает производную <math>f</math>, а <math>dx</math> является постоянной формой, определяемой <math>dx(V)=V</math>.
- Пусть в открытом множестве <math>\Omega\subset\R^n</math> задана гладкая функция <math>f\colon\Omega\to\R</math>. Тогда <math>df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i</math>. Форма <math>dx_i</math> может быть определена соотношением <math>dx_i(V)=v_i</math>, для вектора <math>V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n)</math>.
- Пусть в открытом множестве <math>\Omega\subset\R^n</math> задано гладкое отображение <math>F\colon\Omega\to\R^m</math>. Тогда
- <math>d_xF(v)=J(x)v,</math>
- где <math>J(x)</math> есть матрица Якоби отображения <math>F</math> в точке <math>x</math>.
См. также
