Русская Википедия:Дициклическая группа
В теории групп дициклическая группа Dicn— это некоммутативная группа порядка 4n (где n>=2), являющаяся расширением циклической группы порядка 2n. Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q4n.
Имеет место точная последовательность:
- <math>1 \to C_{2n} \to \mbox{Dic}_n \to C_2 \to 1. \, </math>
которая означает, что Dicn содержит нормальную подгруппу H, изоморфную C2n. Факторгруппа Dicn/H изоморфна C2.
Определение
Дициклическая группа может быть задана как группа, порождённая элементами a и b соотношениями
- a2n=1,
- b2 = an,
- b-1 a b = a-1.
Из этих соотношений следует, что каждый элемент Dicn может быть единственным образом записан, как akbj, где 0 ≤ k < 2n, j = 0 или 1. Поэтому порядок группы равен 4n.
Свойства
Центр дициклической группы Z(Dicn) состоит из двух элементов аn и 1. Её коммутантом является подгруппа, порождённая элементом a2 и изоморфная Cn.
Дициклическая группа и группа диэдра
Существует сходство между дициклической группой и группой диэдра Dih2n . В этих группах имеется циклическая подгруппа A = <a>=C2n и внутренний автоморфизм, который действует на C2n как "отражение": intb(a) = a-1.
Замена соотношения b2 = 1 (для группы диэдра) на b2 = an приводит к ряду отличий. Все элементы, не принадлежащие подгруппе <a>, имеют порядок 2 в группе диэдра и порядок 4 в дициклической группе. В отличие от группы диэдра дициклическая группа Dicn не является полупрямым произведением А и <b>, так как пересечение A ∩ <b> не является тривиальным.
Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2, а именно x = b2 = аn. Этот элемент принадлежит центру группы Dicn. Если мы добавим соотношение b2 = 1, то получим группу диэдра Dihn. Таким образом факторгруппа Dicn/<b2> изоморфна группе диэдра Dihn, содержащей 2n элементов.
Наименование группы
В математической энциклопедии, группа кватернионов — это частный случай, когда порядок группы равен степени 2. В этом случае группа является нильпотентной.
Случай 2-группы
В обобщённой кватернионной группе любая абелева подгруппа является циклическойШаблон:Sfn. Можно показать, что конечная p-группа c этим свойством (любая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщённой кватернионной группойШаблон:Sfn. Если же конечная p-группа имеет единственную подгруппу порядка p, то она либо циклическая, либо является обобщённой кватернионной группой (с порядком, равным степени двойки)Шаблон:Sfn. В частности, для конечного поля F нечётной характеристики 2-силовская подгруппа SL2(F) не абелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, так что эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионовШаблон:Sfn. Если pr — порядок F, где p простое, то порядок 2-силовской подгруппы SL2(F) равен 2n, где n = ord2(p2 - 1) + ord2(r).
См. также
Примечания
Литература
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
