Русская Википедия:Длина свободного пробега
Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние <math>\lambda</math>, которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.[1]
Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается[2] средняя длина свободного пробега <<math>\lambda</math>>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.
Теория рассеяния
Представим поток частиц, проходящих через мишень размером <math>L \times L</math>, и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок).[3] Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:
- <math>\ell = (\sigma n)^{-1},</math>
где Шаблон:Mvar — количество частиц мишени в единице объёма, а Шаблон:Mvar — эффективное сечение.
Площадь такого слоя Шаблон:Math, объём Шаблон:Math, и тогда количество неподвижных атомов в нём Шаблон:Math. Вероятность <math>dP</math> рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:
- <math>dP = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,</math> где Шаблон:Mvar — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.
Тогда уменьшение <math>dI</math> интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:
- <math>dI = -I n \sigma \,dx.</math>
Получаем дифференциальное уравнение
- <math>\frac{dI}{dx} = -I n \sigma = -\frac{I}{\ell},</math>
решение которого известно как закон закон Бугера[4] и имеет вид <math>I = I_{0} e^{-x/\ell}</math>, где Шаблон:Mvar — расстояние, пройденное пучком, Шаблон:Math — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а Шаблон:Mvar называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от Шаблон:Mvar до Шаблон:Math, равна
- <math>dP(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.</math>
И таким образом, среднее значение Шаблон:Mvar будет равно
- <math>\langle x \rangle = \int_0^\infty x dP(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\ell} e^{-x/\ell} \, dx = \ell.</math>
Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания <math>T = I/I_{0} = e^{-x/\ell}</math>, где Шаблон:Math — толщина мишени
Кинетическая теория
В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула <math>\ell = (n\sigma)^{-1}</math>, вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.
Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:
<math>\overline{\mathbf{v}_{\rm relative}^2}=\overline{(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)^2} =\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2-2\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}.</math>
В состоянии равновесия значения скоростей <math>\mathbf{v}_1</math> и <math>\mathbf{v}_2</math> случайны и независимы, поэтому <math>\overline{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}=0</math>, а относительная скорость равна
<math>v_{\rm rel}=\sqrt{\overline{\mathbf{v}_{\rm relative}^2}} =\sqrt{\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2}} =\sqrt{2}v.</math>
Это означает, что количество столкновений равно <math>\sqrt{2}</math>, умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:[5]
<math>\ell = (\sqrt{2}\, n\sigma)^{-1}</math>
Из закона Менделеева — Клапейрона <math>n = N/V = p/(k_\text{B}T)</math> и с учётом <math>\sigma = \pi (2r)^2 = \pi d^2</math> (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом <math>r</math>) можно показать, что длина свободного пробега равна[6]
- <math>\ell = \frac{k_\text{B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 p},</math> где kШаблон:Sub — постоянная Больцмана.
На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега[7]
- <math>\ell = \frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B} T}{2 m}},</math>
где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:
- <math>\ell = \frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi R_u T}{2 M}},</math>
где <math> R_u </math> — универсальная газовая постоянная, а <math> M </math> — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.
Формула
- <math>\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \sigma n}</math>, где <math> \sigma </math> — эффективное сечение молекулы, равное <math>{\pi d^2}</math> (<math> d </math> — эффективный диаметр молекулы), а <math>n</math> — концентрация молекул.
Примеры
В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.
| Диапазон давления | Давление, Па | Давление, мм.рт.ст. | Концентрация, молекул / см3 | Концентрация, молекул / м3 | Длина свободного пробега |
|---|---|---|---|---|---|
| Атмосферное давление | 101300 | 759.8 | 2.7 × 1019 | 2.7 × 1025 | 68[8] нм |
| Низкий вакуум | 30000 — 100 | 220 — 8×10−1 | 1019 — 1016 | 1025 — 1022 | 0.1 — 100 мкм |
| Средний вакуум | 100 — 10−1 | 8×10−1 — 8×10−4 | 1016 — 1013 | 1022 — 1019 | 0.1 — 100 мм |
| Высокий вакуум | 10−1 — 10−5 | 8×10−4 — 8×10−8 | 1013 — 109 | 1019 — 1015 | 10 см- 1 км |
| Сверхвысокий вакуум | 10−5 — 10−10 | 8×10−8 — 8×10−13 | 109 — 104 | 1015 — 1010 | 1 km — 105 km |
| Экстремальный вакуум | <10−10 | <8×10−13 | <104 | <1010 | >105 km |
См. также
Примечания
Ссылки
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ S. Chapman and T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases Шаблон:Wayback, 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, Шаблон:ISBN, p. 88.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Статья
