Русская Википедия:Доверительный интервал
Довери́тельный интерва́л — термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
Доверительным называется интервал, в который попадают измеренные в эксперименте значения, соответствующие доверительной вероятности[1].
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера[ссылка 1].
Определение
Доверительным интервалом параметра <math>\theta</math> распределения случайной величины <math>X</math> с уровнем доверия <math>p</math>[примечание 1], порождённым выборкой <math>(x_1,\ldots,x_n)</math>, называется интервал с границами <math>l(x_1,\ldots,x_n)</math> и <math>u(x_1,\ldots,x_n)</math>, которые являются реализациями случайных величин <math>L(X_1,\ldots,X_n)</math> и <math>U(X_1,\ldots,X_n)</math>, таких, что
- <math>\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U)=p</math>.
Граничные точки доверительного интервала <math>l</math> и <math>u</math> называются доверительными пределамиШаблон:Sfn.
Вероятность, с которой в условиях данного эксперимента полученные экспериментальные данные можно считать надежными (достоверными), называют доверительной вероятностью или надежностью. Величина доверительной вероятности определяется характером производимых измерений. При выполнении учебных лабораторных работ в курсе общей физики доверительная вероятность обычно считается равной 95 %.
Толкование доверительного интервала, основанное на интуиции, будет следующим: если уровень доверия <math>p</math> велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение <math>\theta</math>[ссылка 2].
Еще одно истолкование понятия доверительного интервала: его можно рассматривать как интервал значений параметра <math>\theta</math>, совместимых с опытными данными и не противоречащих им.
Более точное, хоть также не совсем строгое, толкование доверительного интервала с уровнем доверия, скажем, 95 %, состоит в следующем. Если провести очень большое количество независимых экспериментов с аналогичным построением доверительного интервала, то в 95 % экспериментов доверительный интервал будет содержать оцениваемый параметр <math>\theta</math> (то есть будет выполняться <math>L \leqslant \theta \leqslant U</math>), а в оставшихся 5 % экспериментов доверительный интервал не будет содержать <math>\theta</math>.
Примеры
- Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки.
- Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.
Байесовский доверительный интервал
В байесовской статистике существует схожее, но отличающееся в некоторых ключевых деталях определение Шаблон:Нп3. Здесь оцениваемый параметр <math>\theta</math> сам считается случайной величиной с некоторым заданным априорным распределением (в простейшем случае — равномерным), а выборка <math>X</math> фиксирована (в классической статистике всё в точности наоборот). Байесовский <math>p</math>-доверительный интервал — это интервал <math>[L, U]</math>, покрывающий значение параметра <math>\theta</math> с апостериорной вероятностью <math>p</math>:
- <math>\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U | X) = p</math>.
Как правило, классический и байесовский доверительные интервалы различаются. В англоязычной литературе байесовский доверительный интервал принято называть термином credible interval, а классический — confidence interval.
См. также
Примечания
- ↑ величину, дополняющую доверительную вероятность до единицы, обычно обозначают <math>\alpha</math>
- Источники
- ↑ Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 2003. — 479 с. — ISBN 5-06-004214-6
- ↑ Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. — М.: Финансы и статистика, 1989. — 510 с. — ISBN 5-279-00245-3 (Определение 4.2.1.; стр. 149.)
Литература
