Русская Википедия:Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Случай известного среднего

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu</math> — известное среднее. Определим произвольное <math>\alpha \in [0,1]</math> и построим <math>\alpha</math> — доверительный интервал для неизвестной дисперсии <math>\sigma^2</math>.

Утверждение. Случайная величина

<math>H = \frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}</math>

имеет распределение <math>\chi^2(n)</math>. Пусть <math>\chi^2_{\alpha,n}</math> — <math>\alpha</math>-квантиль этого распределения. Тогда имеем:

<math>\mathbb{P}\left(\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n} \leqslant H \leqslant \chi^2_{\frac{\alpha}{2},n}\right) = 1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>H</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

<math>\mathbb{P}\left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n}} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},n}} \right) = 1-\alpha</math>.

Случай неизвестного среднего

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> — независимая выборка из нормального распределения, где <math>\mu</math>, <math>\sigma^2</math> — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии <math>\sigma^2</math>.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

<math>H = \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}</math>,

где <math>S^2</math> — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение <math>\chi^2(n-1)</math>. Тогда имеем:

<math>\mathbb{P}\left( \chi^2_{\frac{\alpha}{2},n-1} \leqslant H \leqslant\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}\right) =1-\alpha</math>.

После подстановки выражения для <math>H</math> и несложных алгебраических преобразований получаем:

<math>\mathbb{P}\left( \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}} \leqslant \sigma^2 \leqslant\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},n-1}} \right) = 1-\alpha</math>.

Ссылки

• http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htmШаблон:Ref-en