Русская Википедия:Додекаэдральное число

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром . Общая формулаШаблон:Sfn для <math>n</math>-го по порядку додекаэдрального числа <math>D_n</math>:

<math>D_n = n \frac{(3n-1)(3n-2)}{2}</math>

Первые из додекаэдральных чисел (Шаблон:OEIS):

<math>1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060 \dots</math>

Рекуррентная формула:

<math>D_n = D_{n-1} + \frac{27n^2-45n+20}{2}; \quad D_1 = 1</math>

Производящая функция последовательности:

<math> \frac{x(1+16x+10x^2)}{(x-1)^4} = \sum_{n=1}^{\infty} D_n x^n; \quad |x|<1</math>

Связь с тетраэдральными числами <math>\mathbb{T}_n</math>:

<math>D_n = \mathbb{T}_n + 16\mathbb{T}_{n-1} + 10\mathbb{T}_{n-2} \quad (n>2)</math>

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на <math>n</math>).

Литература

• Шаблон:Книга