Русская Википедия:Додекаэдральные соты порядка 4
| Додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Файл:H3 534 CC center.png | |
| Тип | Гиперболические правильные соты |
| Символ Шлефли | {5,3,4} {5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | {5,3} Файл:Uniform polyhedron-53-t0.png |
| Грани | Пятиугольники {5} |
| Рёберная фигура | квадраты {4} |
| Вершинная фигура | Файл:Order-4 dodecahedral honeycomb verf.png Октаэдр |
| Двойственные соты | Шаблон:Не переведено 5 |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Regular, квазиправильные соты |
В гиперболическом трёхмерном пространстве додекаэдральные соты порядка 4 — это одна из четырёх компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот). Имея символ Шлефли {5,3,4}, соты имеют четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдральном расположении. Вершины сот строятся на 3 ортогональных осях. Двойственным телом сот являются Шаблон:Не переведено 5.
Геометрические соты — это таким образом заполняющие пространство многогранные ячейки, что не остаётся свободных промежутков. Соты являются примером более общего математического понятия замощения в пространствах любой размерности.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно Шаблон:Не переведено 5. Они могут быть построены также в неевклидовых пространствах, такие как Шаблон:Не переведено 5. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы образовать однородные соты на сферическом пространстве.
Описание
Двугранный угол додекаэдра равен ~116.6°, так что невозможно разместить 4 додекаэдра на ребре в евклидовом 3-мерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве для додекаэдра можно подобрать размер так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а тогда четыре додекаэдра точно заполняют пространство вокруг каждого ребра.
Симметрия
Соты строятся с половинной симметрией, {5,31,1}, с двумя типами (цветами) шестиугольных мозаик в построении Витхоффа. Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD.
Рисунки
Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
Модель Бельтрами — Клейна
Связанные многогранники и соты
Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве: Шаблон:Правильные компактные H3 соты
Существует Шаблон:Не переведено 5 в семействе [5,3,4] групп Коксетера, включая эти правильные формы. Шаблон:Семейство 534
Существует Шаблон:Не переведено 5 в разветвлённом семействе [5,31,1] групп Коксетера, включая соты в чередующейся форме. Это построение может быть представлено чередованием (как на шахматной доске) с двумя цветами додекаэдральных ячеек.
Эти соты связаны также с 16-ячейником, кубическими сотами и Шаблон:Не переведено 5, все имеют октаэдральные вершинные фигуры: Шаблон:Замощения с октаэдральными вершинными фигурами
Эти соты являются частью последовательности четырёхмерных многогранников и сот с додекаэдральными ячейками: Шаблон:Додекаэдральные замощения
Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4
| Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | r{5,3,4} r{5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | r{5,3} Файл:Uniform polyhedron-53-t1.png {3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png |
| Грани | Треугольники {3} пятиугольники {5} |
| Вершинная фигура | Файл:Rectified order-4 dodecahedral honeycomb verf.png куб |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Вершинно транзитивные, рёберно транзитивные |
Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4', Шаблон:CDD, имеют чередующиеся октаэдральные и икосододекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.
Связанные соты
Существует четыре вида полноусечённых компактных правильных сот: Шаблон:Полноусечённые компактные соты в H3
Усечённые додекаэдральные соты порядка 4
| Усечённые додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | t{5,3,4} t{5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | t{5,3} Файл:Uniform polyhedron-53-t01.png {3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png |
| Грани | Треугольники {3} десятиугольники {10} |
| Вершинная фигура | Файл:Truncated order-4 dodecahedral honeycomb verf.png Квадратная пирамида |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Вершинно транзитивные |
Усечённые додекаэдральные соты порядка 4, Шаблон:CDD, имеют октаэдральные и усечённые додекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.
Файл:H3 435-0011 center ultrawide.png
Соты можно рассматривать как аналог двумерных гиперболических Шаблон:Не переведено 5 t{5,4} с гранями в виде усечённых пятиугольников и квадратов:
Связанные соты
Шаблон:Усечённые компактные соты в H3
Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4
| Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 Биусечённые кубические соты порядка 5 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | 2t{5,3,4} 2t{5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | t{3,5} Файл:Uniform polyhedron-53-t12.png t{3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t12.png |
| Грани | Треугольники {3} квадраты {4} шестиугольники {6} |
| Вершинная фигура | Файл:Bitruncated order-4 dodecahedral honeycomb verf.png Тетраэдр |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Вершинно транзитивные |
Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 или биусечённые кубические соты порядка 5, Шаблон:CDD, имеют усечённые октаэдры и усечённые икосаэдры в качестве ячеек и тетраэдр в качестве вершинной фигуры.
Файл:H3 534-0110 center ultrawide.png
Связанные соты
Шаблон:Биусечённые компактные соты в H3 Шаблон:-
Скошенные додекаэдральные соты порядка 4
| Скошенные додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | rr{5,3,4} rr{5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | rr{3,5} Файл:Uniform polyhedron-53-t02.png r{3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t2.png {}x{4} куб Файл:Tetragonal prism.png |
| Грани | Треугольники {3} квадраты {4} пятиугольники {5} |
| Вершинная фигура | Файл:Cantellated order-4 dodecahedral honeycomb verf.png Треугольная призма |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Вершинно транзитивные |
Скошенные додекаэдральные соты порядка 4,Шаблон:CDD, имеют ромбоикосододекаэдральные, кубооктаэдральные и кубические ячейки и треугольную призму в качестве вершинной фигуры.
Файл:H3 534-1010 center ultrawide.png
Связанные соты
Шаблон:Скошенные компактные соты в H3 Шаблон:-
Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
| Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | tr{5,3,4} tr{5,31,1} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD Шаблон:CDD ↔ Шаблон:CDD |
| Ячейки | tr{3,5} Файл:Uniform polyhedron-53-t012.png t{3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t12.png {}x{4} Кубы Файл:Tetragonal prism.png |
| Грани | квадраты {4} шестиугольники {6} десятиугольники {10} |
| Вершинная фигура | Файл:Cantitruncated order-4 dodecahedral honeycomb verf.png зеркальный сфеноид |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] Шаблон:Overline3, [5,31,1] |
| Свойства | Вершинно транзитивные |
Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 являются однородными сотами с диаграммой Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD и имеющие зеркальный сфеноид в качестве вершинной фигуры.
Файл:H3 534-1110 center ultrawide.png
Связанные соты
Шаблон:Скошено-усечённые компактные соты в H3 Шаблон:-
Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
| Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Шаблон:Не переведено 5 |
| Символ Шлефли | t0,1,3{5,3,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
Шаблон:CDD |
| Ячейки | t{5,3} Файл:Uniform polyhedron-53-t01.png rr{3,4} Файл:Uniform polyhedron-43-t02.png {}x{10} Файл:Decagonal prism.png {}x{4} Файл:Tetragonal prism.png |
| Грани | Треугольники {3} квадраты {4} десятиугольники {10} |
| Вершинная фигура | Файл:Runcitruncated order-4 dodecahedral honeycomb verf.png quad пирамида |
| Группа Коксетера | Шаблон:Overline3, [5,3,4] |
| Свойства | Вершинно транзитивные |
Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 — это однородные соты с диаграммой Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD и четырёхугольной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Файл:H3 534-1101 center ultrawide.png
Связанные соты
Шаблон:Струг-усечённые компактные соты в H3
См. также
- Шаблон:Не переведено 5
- Poincaré homology sphere Poincaré dodecahedral space
- Шаблон:Не переведено 5 Seifert–Weber dodecahedral space
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
