Русская Википедия:Доказательство иррациональности e

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Число e открыл Якоб Бернулли в 1683 году. Более чем полвека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба Иоганна, доказал, что е иррационально, то есть не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.

Доказательство Эйлера

Эйлер впервые доказал иррациональность е в 1737 году, само доказательство было опубликовано семь лет спустя[1][2][3]. Он нашел представление е в виде цепной дроби

<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. </math>

Поскольку эта цепная дробь бесконечна, а цепная дробь рациональных чисел конечна, то e иррационально. Были найдены краткие доказательства равенства выше[4][5]. Поскольку цепная дробь e не периодическая, это доказывает, что e не может быть корнем квадратичного многочлена с рациональными коэффициентами, откуда следует, что e2 также иррационально.

Доказательство Фурье

Самым известным доказательством является доказательство Фурье, которое построено от противного[6] и основано на представлении e бесконечным рядом

<math>e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\cdot</math>

Предположим, что e — рациональное число вида a/b, где a, b — целые. Число b не может быть равно 1, поскольку e не целое. Из бесконечного ряда выше можно показать, что e находится строго между 2 и 3:

<math>2 = 1 + \tfrac{1}{1!} < e = 1 + \tfrac{1}{1!} + \tfrac{1}{2!} + \tfrac{1}{3!} + \cdots < 1 + \left (1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2^2} + \tfrac{1}{2^3} + \cdots \right ) = 3.</math>

Определим число

<math>x = b!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).</math>

Покажем, что x является целым числом. Для этого подставим e =Шаблон:Дробь2 в это равенство

<math>x = b!\left (\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}.</math>

Первое слагаемое является целым числом, и каждая дробь в сумме также целое число, поскольку n ≤ b для каждого числа под знаком суммы. Следовательно, x — целое число.

Теперь докажем, что 0 < x < 1. Чтобы доказать, что x > 0, подставим представление e в виде ряда в определение x

<math>x = b!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0,</math>

так как все слагаемые в сумме строго положительные.

Теперь докажем, что x < 1. Для всех членов с n ≥ b + 1 справедлива оценка сверху

<math>\frac{b!}{n!} =\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))} \le \frac1{(b+1)^{n-b}}.</math>

Это неравенство строгое для любого n ≥ b + 2. Изменив индекс суммирования на k = n – b и используя формулу для бесконечного геометрического ряда, получим

<math> x =\sum_{n = b+1}^\infty \frac{b!}{n!}

< \sum_{n=b+1}^\infty \frac1{(b+1)^{n-b}} =\sum_{k=1}^\infty \frac1{(b+1)^k} =\frac{1}{b+1} \left (\frac1{1-\frac1{b+1}}\right ) = \frac{1}{b} < 1.</math>

Поскольку не существует целого числа x строго между 0 и 1, мы пришли к противоречию, следовательно e должно быть иррациональным. Q. E. D.

Другие доказательства

Из доказательство Фурье можно получить другое доказательство[7], заметив, что

<math>(b+1)x=1+\frac1{b+2}+\frac1{(b+2)(b+3)}+\cdots<1+\frac1{b+1}+\frac1{(b+1)(b+2)}+\cdots=1+x,</math>

что равносильно утверждению, что bx < 1. Конечно, это невозможно, поскольку b и x — натуральные числа.

Еще одно доказательство[8][9] можно получить из равенства

<math>\frac{1}{e} =e^{-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\cdot</math>

Определим <math>s_{n}</math> как:

<math>s_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}.</math>

Тогда

<math> e^{-1}-s_{2n-1}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} -\sum_{k=0}^{2n-1} \frac{(-1)^{k}}{k!} <\frac{1}{(2n)!},</math>

откуда следует

<math> 0<(2n-1)! \left (e^{-1}-s_{2n-1} \right ) < \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{2} </math>

для любого целого <math>n \geq 2.</math>

Заметим, что <math>(2n-1)!s_{2n-1}</math> всегда целое число. Предположим, что <math>e^{-1}</math> рациональное вида <math>e^{-1}=\tfrac{p}{q}</math>, где <math>p, q</math> взаимно простые числа и <math>q \neq 0.</math> Можно так подобрать <math>n</math>, что <math>(2n-1)!e^{-1}</math> будет целым числом, например, взяв <math>n \geq \tfrac{q+1}{2}.</math> Для такого <math>n</math> разность между <math>(2n-1)!e^{-1}</math> и <math>(2n-1)!s_{2n-1}</math> будет целым числом. Но ввиду неравенства выше это целое число должно быть менее 1/2, что невозможно. Получено противоречие, следовательно <math>e^{-1}</math> иррационально, а значит <math>e</math> иррационально тоже.

Обобщения

В 1840 году Лиувилль опубликовал доказательство иррациональности e2[10], следовавшее из доказательства того, что e2 не может быть корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами[11]. Отсюда следует, что e4 также иррационально. Доказательство Лиувилля аналогично доказательству Фурье. В 1891 году Гурвиц, используя схожие идеи, нашел, что е не может быть корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами[12], и, в частности, что e3 иррационально.

Более общо, eq иррационально для любого ненулевого рационального q[13].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite journal
  2. ↑ Шаблон:Cite journal
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Cite book
  7. ↑ Шаблон:Citation
  8. ↑ Шаблон:Cite journal
  9. ↑ Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  10. ↑ Шаблон:Cite journal
  11. ↑ Шаблон:Cite journal
  12. ↑ Шаблон:Cite book
  13. ↑ Шаблон:Citation.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Доказательство_иррациональности_e&oldid=9768144