Русская Википедия:Дополнение узла
Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.
Дополнение является важной конструкцией в теории узлов, связывающей её с трёхмерной топологией. Многие инварианты узлов, такие как группа узла, являются в действительности инвариантами их дополнений.
Определение
Дополнением ручного узла называют несколько тесно связанных между собой пространств. В простейшем случае имеется в виду теоретико-множественная разность <math>\R^3 \backslash K</math>, где <math>K \subseteq \R^3</math> — некоторый геометрический представитель данного узла.
Такое пространство обладает рядом недостатков[1], и чаще рассматривают разность <math>S^3 \backslash K</math>, где <math>S^3 = \R^3 \cup \{\infty\}</math> — одноточечная компактификация трёхмерного евклидова пространства, то есть трёхмерная сфера.
Наконец, для возможности привлечения различных алгебро-топологических и аналитических инструментов, требующих компактности, в литературе дополнением узла обычно называют множество
- <math>X_K := S^3 \backslash U(K)</math>,
где <math>U(K)</math> — открытая трубчатая окрестность геометрического узла <math>K</math>[2].
Аналогично определяются дополнения зацеплений.
Несмотря на своё определение, пространство <math>X_K</math> может быть вложено в <math>\R^3</math>, а именно, оно гомеоморфно пространству, получающемуся из шара вырезанием открытого цилиндра, заузленного в форме <math>K</math>.
Примеры
Дополнение тривиального узла получается из шара вырезанием прямого цилиндра и гомеоморфно полноторию. Альтернативный взгляд на данный полноторий представлен на рисунке. Вместе с таким полноторием трубчатая окрестность тривиального узла образует простейшее разбиение Хегора трёхмерной сферы.
Внутренность дополнения узла трилистника гомеоморфна фактору вещественной специальной линейной группы по её дискретной подгруппе:
- <math>{\rm Int}(X_K) \cong {\rm SL}_2(\R)/ {\rm SL}_2(\Z)</math>.
Эта внутренность также гомотопически эквивалентна конфигурационному пространству <math>{\rm UConf}_3(\R^2)</math> трёхэлементных подмножеств плоскости, которое является шестимерным многообразием.
Свойства
Пространство <math>X_K</math> является связным, компактным, неприводимым трёхмерным многообразием. Его внутренность гомеоморфна пространству <math>S^3 \backslash K</math>. Его край, в свою очередь, гомеоморфен тору, поскольку совпадает с краем замыкания трубчатой окрестности <math>U(K)</math>, гомеоморфного полноторию. В отличие от <math>X_K</math>, пространства <math>\R^3 \backslash K</math> и <math>S^3 \backslash K</math> являются некомпактными трёхмерными многообразиями без края.
Дополнения узлов, а также зацеплений, являются многообразиями Хакена.
Фундаментальные группы пространств <math>\R^3 \backslash K</math>, <math>S^3 \backslash K</math> и <math>X_K</math> изоморфны и называются группой узла. Первая группа гомологий дополнения узла является бесконечной циклической и, как и для любого пространства, изоморфна абелианизации его фундаментальной группы:
- <math>H_1(X_K; \Z) \cong \pi_1(X_K)^{ab} \cong \Z</math>.
Она порождается образом любой меридианальной петли узла. Целое число, соответствующее гомологическому классу в <math>H_1(X_K; \Z)</math> замкнутой ориентированной кривой в <math>X_K</math>, равно коэффициенту зацепления этой кривой с геометрическим узлом <math>K</math>.
Поскольку пространство <math>X_K</math> связно, имеется изоморфизм <math>H_0(X_K; \Z) \cong \Z</math>. Как и младшие группы гомологий, гомологии дополнения узла можно вычислить с помощью двойственности Александера:
- <math>\begin{align}
H_1(X_K; \Z) &\cong H^1(U(K); \Z) \cong H^1(S^1; \Z) \cong \Z, \\ H_2(X_K; \Z) &\cong \tilde{H}^0(U(K); \Z) \cong \tilde{H}^0(S^1; \Z) \cong 0, \\ H_3(X_K; \Z) &\cong 0. \end{align}</math>
В отличие от <math>H_2(X_K; \Z)</math>, относительная группа гомологий <math>H_2(X_K, \partial X_K; \Z)</math> не тривиальна, а является бесконечной циклической, порождённой любой поверхностью Зейферта узла.
Как показал Христос Папакирьякопулос, высшие гомотопические группы пространства <math>X_K</math> тривиальны, иными словами, дополнение любого узла является асферическим[3].
Теорема Гордона — Люке
Дополнения узла и его зеркального образа гомеоморфны. Теорема, доказанная Шаблон:Нп5 и Шаблон:Нп5, гласит, что это единственная возможность. А именно, дополнения двух ручных узлов гомеоморфны тогда и только тогда, когда они либо совпадают, либо являются зеркальными образами друг друга[4]. Таким образом, дополнение узла практически является его полным инвариантом.
Классификация Тёрстона
Согласно теореме о геометризации трёхмерных многообразий, если дополнение узла является Шаблон:Нп5, то на его внутренности можно ввести структуру одной из восьми трёхмерных геометрий.
Дополнения торических узлов являются аторическими многообразиями Зейферта. На их внутренностях можно ввести как геометрию универсального накрытия <math>\overline{{\rm SL}_2(\R)}</math>, так и произведения <math>\mathbb{H}^2\times \R</math>. Например, в случае трилистника геометрия с моделью <math>\overline{{\rm SL}_2(\R)}</math> может быть введена с помощью гомеоморфизма между внутренностью его дополнения и пространством <math>{\rm SL}_2(\R)/ {\rm SL}_2(\Z)</math>.
Как следует из определения, дополнение узла не является аторическим в том и только в том случае, если узел является сателлитным. Согласно Шаблон:Нп5, доказанной Уильямом Тёрстоном, если узел не является сателлитным или торическим, то на внутренности его дополнения можно ввести геометрию гиперболического пространства <math>\mathbb{H}^3</math>, причем единственным образом. В связи с этим такие узлы называются гиперболическими.
Разбиение множества всех узлов на торические, сателлитные и гиперболические называется классификацией Тёрстона.
Примечания
- ↑ Например, в отличие от <math>\R^3 \backslash K</math>, пространство <math>S^3 \backslash K</math> является неприводимым, то есть в нём любая топологическая сфера ограничивает шар.
- ↑ Существование такой трубчатой окрестности эквивалентно тому, что исходный узел является ручным.
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
