Русская Википедия:Дробно-линейная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Giperbola-ravnoboch.png

Равнобочная гипербола — простейший пример дробно-линейной функции

Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.

Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае многомерное числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай:

• при <math>n = 1</math> как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции, отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени;
• при <math>n = 1</math> в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования, отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя;
• при <math>n = 1</math> в комплексном и при <math>n = 2</math> в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей, — преобразования Мёбиуса.

Формальное определение

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

<math>\mathbb{U}^n \to \mathbb{U} : w = L(u_1, u_2, \dots, u_n) = \frac{a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n + b}{c_1 u_1 + c_2 u_2 + \cdots + c_n u_n + d},</math>

где <math>\mathbb{U}</math> — комплексные (<math>\Z</math>) или вещественные (<math>\R</math>) числа, <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> — соответственно комплексные или вещественные переменные, <math>a_1, a_2, \dots, a_n,</math> <math>c_1, c_2, \dots, c_n,</math> <math>b, d</math> — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

<math>|c_1| + |c_2| + \dots + |c_n| + |d| > 0</math>Шаблон:Sfn.

Возможно обобщение на кватернионыШаблон:Sfn.

Вырожденные случаиШаблон:Sfn:

• если

<math>|c_1| = |c_2| = \dots = |c_n| = 0,</math>

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

• если ранг матрицы

<math>\left( \begin{array}{cccc}

a_1 & a_2 & \ldots & a_n & b\\ c_1 & c_2 & \ldots & c_n & d \end{array} \right)</math>

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функцииШаблон:Sfn:

• <math>|c_1| + |c_2| + \dots + |c_n| > 0;</math>
• равен двум ранг матрицы

<math>\left( \begin{array}{cccc}

a_1 & a_2 & \ldots & a_n & b\\ c_1 & c_2 & \ldots & c_n & d \end{array} \right).</math>

Вещественная дробно-линейная функция

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

<math>\R^n \to \R : y = L(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b}{c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n + d},</math>

где <math>\R</math> — вещественные числа, <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — вещественные переменные, <math>a_1, a_2, \dots, a_n,</math> <math>c_1, c_2, \dots, c_n,</math> <math>b, d</math> — вещественные коэффициенты,

<math>|c_1| + |c_2| + \dots + |c_n| + |d| > 0</math>Шаблон:Sfn.

Функция одного переменного

Файл:Homografia.svg

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция <math>\frac{2x - 1}{x + 2}</math> с асимптотами <math>x = -2/1 = 2</math> и <math>y = 2/1 = 2</math>, <math>ad - bc = 5 > 0</math>

В простейшем случае <math>n = 1</math> и действительных

<math>x_1 = x,</math> <math>a_1 = a,</math> <math>b,</math> <math>c_1 = c,</math> <math>d</math>

график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами

<math>x = -d/c</math>

и

<math>y = a/c,</math>

параллельными осям координат:Шаблон:Sfn.

Асимптоты гиперболы

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

<math>y = \frac{ax + b}{cx + d}</math>

несократима, то есть <math>ad - bc \ne 0</math>, и не сводится к целой линейной функции, то есть <math>c \ne 0</math>. Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при <math>x</math>Шаблон:Sfn:

<math>y = \frac{\frac{a}{c}x + \frac{b}{c}}{x + \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{c}\left(x + \frac{d}{c}\right) + \left(\frac{b}{c} - \frac{ad}{c^2}\right)}{x + \frac{d}{c}} =</math>

<math>= \frac{a}{c} - \frac{ad - bc}{c^2(x + \frac{d}{c})}.</math>

Теперь ясно, что график функции <math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> получается из графика <math>\frac{1}{x}</math> следующими элементарными преобразованиями:

• растяжением в <math>\left| \frac{ad - bc}{c^2} \right|</math> раз по оси <math>Oy</math>, причём в случае <math>ad - bc > 0</math> с отражением относительно оси <math>Ox</math>;
• перенесением параллельно оси <math>Ox</math> на <math>-\frac{d}{c}</math>;
• перенесением параллельно оси <math>Oy</math> на <math>\frac{a}{c}</math>.

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного <math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые <math>x = -\frac{d}{c}</math> и <math>y = \frac{a}{c}</math> — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот <math>\left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\right)</math>, не принадлежащая кривой, — её центрШаблон:Sfn.

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного <math>\frac{ax + b}{cx + d}</math>Шаблон:Sfn:

• «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке <math>x = -\frac{d}{c}</math>;
• на интервалах <math>\left(-\infty, -\frac{d}{c}\right)</math> и <math>\left(-\frac{d}{c}, +\infty\right)</math> функция везде возрастает при <math>ad - bc > 0</math> и везде убывает при <math>ad - bc < 0</math>;
• при неограниченном увеличении <math>| x |</math> значения функции неограниченно приближаются к <math>\frac{a}{c}</math>, что видно также из преобразования

<math>\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{a + \frac{b}{x}}{c + \frac{d}{x}}.</math>

Производная

<math>\left(\frac{a}{c} - \frac{ad - bc}{c^2(x + \frac{d}{c})}\right)' = \frac{ad - bc}{c^2(x + \frac{d}{c})^2}.</math>

Неопределённый интеграл:

<math>\int\left(\frac{a}{c} - \frac{ad - bc}{c^2(x + \frac{d}{c})}\right)dx = \frac{a}{c}x - \frac{ad - bc}{c^2}\ln\left|x + \frac{d}{c}\right| + C.</math>

Каноническое уравнение гиперболы

Сначала приведём функцию

<math>y = \frac{a}{c} - \frac{ad - bc}{c^2(x + \frac{d}{c})}</math>

преобразованиями координат к виду

<math>y' = \frac{m}{x'}.</math>

Для этого сделаем следующие замены:

<math>x' = x + \frac{d}{c},</math> <math>y' = y- \frac{a}{c},</math> <math>m = - \frac{ad - bc}{c^2},</math>

получим требуемый вид функцииШаблон:Sfn.

Теперь повернём координатные оси на угол <math>45^\circ,</math> сделав замену координат

<math>x' = x\cos(45^\circ) - y\sin(45^\circ) = \frac{x - y}{\sqrt{2}},</math>

<math>y' = x\sin(45^\circ) + y\cos(45^\circ) = \frac{x + y}{\sqrt{2}},</math>

получим в новых координатахШаблон:Sfn:

<math>x'y' = m,</math> <math>\frac{x - y}{\sqrt{2}}\frac{x + y}{\sqrt{2}} = m,</math>

<math>\frac{x^2}{2m} - \frac{y^2}{2m} = 1.</math>

Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями <math>a = b = \sqrt{2|m|}.</math>Шаблон:Sfn

Функция двух переменных

Файл:HyperbolicParaboloid.svg

Гиперболический параболоид

В случае <math>n = 2</math> и действительных <math>x_1,</math> <math>x_2,</math> <math>a_1,</math> <math>a_2,</math> <math>b,</math> <math>c_1,</math> <math>c_2,</math> <math>d</math> график дробно-линейной функции

<math>y = \frac{a_1x_1 + a_2x_2 + b}{c_1x_1 + c_2x_2 + d}</math>

представляет собой гиперболический параболоидШаблон:Sfn.

Комплексная дробно-линейная функция

Шаблон:Основная статья Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

<math>\C^n \to \C : w = L(z_1, z_2, \dots, z_n) = \frac{a_1 z_1 + a_2 z_2 + \cdots + a_n z_n + b}{c_1 z_1 + c_2 z_2 + \cdots + c_n z_n + d},</math>

где <math>\C</math> — комплексные числа, <math>z_1, z_2, \dots, z_n</math> — комплексные переменные, <math>a_1, a_2, \dots, a_n,</math> <math>c_1, c_2, \dots, c_n,</math> <math>b, d</math> — комплексные коэффициенты,

<math>|c_1| + |c_2| + \dots + |c_n| + |d| > 0</math>Шаблон:Sfn.

При <math>n = 1</math> комплексная дробно-линейная функция

<math>\C \to \C : w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}</math> —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C \cup \{\infty\}</math>, за исключением точки <math>z = -d/c</math>, в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюсШаблон:Sfn.

При <math>n \geqslant 1</math> комплексная дробно-линейная функция

<math>\C^n \to \C : w = L(z_1, z_2, \dots, z_n) = \frac{a_1 z_1 + a_2 z_2 + \cdots + a_n z_n + b}{c_1 z_1 + c_2 z_2 + \cdots + c_n z_n + d},</math> —

мероморфная функция в пространстве <math>\mathbb C^n</math> комплексных переменных <math>z_1, z_2, \dots, z_n</math>, имеющая полярное множество

<math>\{z \in \mathbb C^n; c_1 z_1 + c_2 z_2 + \cdots + c_n z_n + d = 0\}</math>Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H