Русская Википедия:Дробный идеал
В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.
Основные определения
Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных. Дробный идеал кольца R — это R-подмодуль I поля K, такой что <math>rI\subseteq R</math> для некоторого <math>r\in R</math>. Интуитивно, <math>r</math> сокращается со знаменателями всех элементов I. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы, порождённые (как R-модули) единственным элементом поля K. Дробный идеал содержится в R тогда и только тогда, когда он является целым идеалом R.
Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм <math> \sum_n i_n j_n, \ i_n \in I, \ j_n \in J </math>: произведение IJ также является дробным идеалом. Дробный идеал I называется обратимым, если существует дробный идеал J, такой, что IJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелеву группу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцо R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевой дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он является проективным R-модулем.
Случай дедекиндовых колец
Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, что каждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппа группы дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндова кольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случай недедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется Шаблон:Не переведено 5.
Дивизорные идеалы
Обозначим через <math>\tilde I</math> пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,
- <math>\tilde I = (R : (R : I)),</math>
где
- <math>(R : I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \} </math>
Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции, называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорные идеалы — это все дробные идеалы <math>I</math>, такие что <math>\tilde I = I.</math> Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтому дивизорные идеалы образуют коммутативный моноид <math>D(R).</math> Этот моноид является группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполне целозамкнуто.
Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случае простые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевой группы <math>D(R).</math> Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппа <math>D(R)</math> по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов дивизоров.
Примечания
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972 — глава 9.
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971 — глава VII.
- Шаблон:Citation — Chapter 11.
