Русская Википедия:Дружественные числа
Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел <math>M, N</math> называют дружественной, если:
- <math>m_1 + m_2 + \ldots + m_k = N,</math>
- <math>n_1 + n_2 + \ldots + n_l = M,</math>
где <math>m_1, m_2, ... m_k</math> — делители числа <math>M</math>, <math>n_1, n_2, ... n_l</math> — делители числа <math>N</math>.
Большой важности для теории чисел эти пары не представляют, но являются любопытным элементом занимательной математики.
Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.
Если учитывать все делители, получим: <math> \sigma(M) - M = N </math> или <math> \sigma(M) = M + N = \sigma(N) </math> другое определение дружественных чисел, эквивалентное данному. Два числа называются дружественной парой, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел.
Аналогично, три числа образуют дружественную тройку, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел. <math> \sigma(M) = \sigma(N) = \sigma(K) = M + N + K</math>.
История
Дружественные числа были открыты последователями Пифагора; правда, им удалось найти только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.
- Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, — их сумма равна 284.
- Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, — и сумма равна 220.
Примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:
В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары: например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил — её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.
Первые пары
Пары дружественных чисел образуют Шаблон:OEIS, причём числа, которые в своей дружественной паре являются меньшими, собраны в последовательность A002025, а бо́льшие - A002046. Суммы чисел в каждой паре образуют последовательность A180164. Примечательно, что все такие суммы, слагаемые где чётны, вплоть до <math>1362660800=2^6\cdot5^2\cdot31\cdot83\cdot331</math> (сумма <math>666030256</math> и <math>696630544</math>) делятся на <math>9</math>. Суммы, не делящиеся на <math>9</math>, находятся в A291550.
- Шаблон:Nums (Пифагор, около 500 до н. э.)
- Шаблон:Nums (Паганини, 1866)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1750)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Браун, 1939)
- Шаблон:Nums (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1750)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Эйлер, 1747)
- Шаблон:Nums (Рольф (Rolf), 1964)
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- Шаблон:Nums
- 947 835 и 1 125 765
- 998 104 и 1 043 096
- Шаблон:Итд
Способы построения
Формула Сабита ибн Курры
Если для натурального числа <math>n>1</math> все три числа:
- <math>p=3\times 2^{n-1}-1</math>,
- <math>q=3\times 2^n-1</math>,
- <math>r=9\times 2^{2n-1}-1</math>,
являются простыми, то числа <math>2^npq</math> и <math>2^nr</math> образуют пару дружественных чисел.
Эта формула даёт пары (220, 284), (Шаблон:Num, Шаблон:Num) и (Шаблон:Num, Шаблон:Num) соответственно для <math>n=2,\;4,\;7</math>, но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для <math>n<20~000,</math> не существует.
Формула Эйлера
Эйлер расширил формулу Сабита ибн Курры. Если для натуральных <math>n>m</math> все три числа:
- <math>p=(2^{n-m}+1)\times 2^m-1</math>,
- <math>q=(2^{n-m}+1)\times 2^n-1</math>,
- <math>r=(2^{n-m}+1)^2\times 2^{m+n}-1</math>,
являются простыми, то числа <math>2^npq</math> и <math>2^nr</math> образуют пару дружественных чисел. Формула Сабита ибн Курры получается из формулы Эйлера подстановкой <math>m=n-1</math>. Формула Эйлера добавила к списку дружественных чисел всего 2 пары: <math>(m,n) = (1,8), (29,40).</math>
Метод Вальтера Боро
Если для пары дружественных чисел вида <math>A=au</math> и <math>B=as</math> числа <math>s</math> и <math>p=u+s+1</math> являются простыми, причём <math>a</math> не делится на <math>p</math>, то при всех натуральных <math>n</math>, при которых оба числа <math>q_1=(u+1)p^{n+1}-1</math> и <math>q_2=(u+1)(s+1)p^n-1</math> просты, числа <math>B_1=A p^n q_1</math> и <math>B_2=ap^nq_2</math> — дружественные.
Открытые проблемы
Неизвестно, конечно ли или бесконечно количество пар дружественных чисел. Шаблон:На известно более Шаблон:Num дружественных чисел[1]. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.
Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.
Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше Шаблон:Power.
Проект BOINC
30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers[2]. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.
См. также
Примечания
Ссылки
- Шаблон:Статья Шаблон:Wayback
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:MathWorld
- Amicable Numbers — BOINC проект по поиску дружественных чисел.
- ↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs list Шаблон:Wayback
- ↑ Публичный запуск 30 января 2017
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Числа по характеристикам делимости
