Русская Википедия:Евклидово кольцо
Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Определение
Евклидово кольцо — область целостности <math>R</math>, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) <math>d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0 </math>, такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых <math>a,b\in R,\, b\ne 0</math> имеется представление <math>a=bq+r</math>, для которого <math>d(r)<d(b)</math> или <math>r=0</math>Шаблон:Sfn.
Дополнительное ограничение
Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: <math>d(a)\leqslant d(ab)</math> для любых ненулевых <math>a</math> и <math>b</math> из кольца <math>R</math>. Если на <math>R</math> задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:
- <math>d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)</math>.
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для <math>x\in R</math> и <math>d'(b) = d(bx)</math> делится <math>ax</math> на <math>bx</math> с остатком: <math>ax = bxq' + r'x</math>, где <math>r' = a - bq'</math> и <math>d(r'x)<d(bx)=d'(b)</math>, а так как из определения следует <math>d'(r')\leqslant d(r'x)</math>, получается искомое представление <math>a = bq' + r'</math> с <math>d'(r')<d'(b)</math>).
Преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента <math>a</math> имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.
Примеры
- Кольцо целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Пример евклидовой функции — абсолютная величина <math>|\cdot|</math>.
- Кольцо целых гауссовых чисел <math>\mathbb{Z}[i]</math> (где <math>i</math> — мнимая единица, <math>i^2 = -1</math>) с нормой <math>d(a+ib) = a^2 + b^2</math> — евклидово.
- Произвольное поле <math>K</math> является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
- Кольцо многочленов в одной переменной <math>K[x]</math> над полем <math>K</math>. Пример евклидовой функции — степень deg.
- Кольцо формальных степенных рядов <math>Kx</math> над полем <math>K</math> является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём.
- Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент.
- Кольцо функций <math>H(K)</math>, голоморфных на связном компакте <math>K</math> в <math>\Complex</math> (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в <math>H(K)</math>, если они совпадают в некоторой окрестности <math>K</math>), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на <math>K</math>.
- Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций <math>H(\mathbb D)</math>, голоморфных в открытом круге <math>\mathbb D</math>, является пересечением евклидовых колец функций <math>H(K)</math>, голоморфных на замкнутых кругах <math>K</math>, содержащихся внутри <math>\mathbb D</math>, однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
- Кольцо частных <math>S^{-1}R</math> евклидова кольца <math>R</math> по мультипликативной системе <math>S</math> тоже является евклидовым. Нормой дроби <math>x</math> из <math>S^{-1}R</math> принимается:
- <math>d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\},</math>
- где <math>d_R</math> — евклидова норма в <math>R</math>, а <math>d_S</math> — норма в <math>S^{-1}R</math>.
- Деление с остатком определяется следующим образом: пусть есть две ненулевые дроби <math>x=r/t</math> и <math>y</math> из S−1R. По определению нормы в <math>S^{-1}R</math> существует элементы <math>u</math> в <math>R</math> и <math>s</math> в <math>S</math>, такие, что <math>y=u/s</math> и <math>d_S(y) = d_R(u) </math>. Произведя деление с остатком в кольце <math>R</math> элементов <math>rs</math> и <math>u</math> — <math>rs = uq + r</math>, так что <math>d_R(r')<d_R(u)</math>, получается <math>r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts</math>; из построения следуют неравенства <math>d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)</math>.
- Евклидовым является кольцо конечных десятичных дробей, так как оно является кольцом частных кольца целых чисел <math>\Z</math>.
- Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем <math>\mathbb{C}</math> с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов <math>\mathbb{C}[x]</math>.
Алгоритм Евклида
В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента <math>a_0</math> и <math>a_1</math>, причём <math>d(a_1)\leqslant d(a_0)</math> и <math>a_1\ne 0</math>. Деление с остатком даёт элемент <math>a_2 = a_0 - a_1q_1</math> с <math>d(a_2)<d(a_1)</math>. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент <math>a_3 = a_1 - a_2q_2</math>, и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений <math>a_0, a_1, a_2, \dots</math> с <math>d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots</math>. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое натуральное число может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором <math>n</math> остаток <math>a_{n+1}</math> равен нулю, а <math>a_n</math> не равен, он и есть наибольший общий делитель элементов <math>a_0</math> и <math>a_1</math>. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.
Свойства евклидовых колец
- В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
- Пусть <math>I</math> — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь <math>0</math>, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент <math>f</math> с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент <math>g \in I</math> в виде <math>g = fq + r</math> с <math>d(r) < d(f)</math> получается, что <math>r</math> — тоже элемент идеала <math>I</math> и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у <math>f</math>. Следовательно, идеал <math>I</math> содержится в идеале <math>(f)</math>. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент <math>f</math>, содержит идеал <math>(f)</math>, откуда следует, что <math>I = (f)</math> — главный идеал.
- Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
- Каждое евклидово кольцо <math>R</math> целозамкнуто, то есть если дробь <math>a/b,\,a,b\in R</math>, является корнем многочлена <math>f\in R[x]</math> со старшим коэффициентом, равным 1, тогда <math>a</math> делится на <math>b</math>. Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.
Свойства модулей над евклидовым кольцом
Пусть <math>R</math> — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые <math>R</math>-модули обладают следующими свойствами:
- Всякий подмодуль <math>N</math> конечнопорождённого <math>R</math>-модуля <math>M</math> конечно порождён (следствие нётеровости кольца <math>R</math>).
- Ранг подмодуля <math>N</math> не превосходит ранга модуля <math>M</math> (следствие главности идеалов в <math>R</math> — структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов).
- Подмодуль свободного <math>R</math>-модуля также свободен.
- Гомоморфизм <math>A \colon N\to M</math> конечнопорождённых <math>R</math>-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> модуля N, образующие (базис) <math>v_1, v_2, \dots, v_m</math> модуля M, номер <math>k\leqslant \min\{m,n\}</math> и <math>a_1,\dots,a_k</math> — элементы кольца <math>R</math>, такие, что <math>a_i</math> делит <math>a_{i+1}</math> и при i > k <math>Au_i = 0</math>, а при остальных — <math>Au_i = a_iv_i</math>. При этом коэффициенты <math>a_1,\dots,a_k</math> определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца <math>R</math>. (В этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца <math>R</math>.)
См. также
Примечания
Ссылки
