Русская Википедия:Единичный вектор
Единичный вектор, или орт[1], — вектор нормированного пространства, длина которого равна единице. Единичные вектора используются, в частности, для задания направлений в пространстве. Множество единичных векторов образует единичную сферу.
Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с крышкой: <math>\mathbf{\hat{v}}</math>.
Единичный вектор <math>\mathbf{\hat{v}}</math> (нормированный вектор), коллинеарный с заданным <math>\mathbf{v}</math> , определяется по формуле
- <math>\mathbf{\hat{v}}=
\frac
{{\mathbf{\vec{v}}}}
{\lVert \mathbf{v} \rVert}
= \left(
{
\frac
{\mathbf\vec{v}_Шаблон:X}
\mathbf{\lVert v \rVert},
\frac
{\mathbf\vec{v}_y}
\mathbf{\lVert v \rVert},
\frac
{\mathbf\vec{v}_{z}}
\mathbf{\lVert v \rVert}
}
\right)</math>
где <math>\mathbf{\lVert {v} \rVert} =
\sqrt{\mathbf{\vec{v}}_x + \mathbf{\vec{v}}_y + \mathbf{\vec{v}}_z}</math> - есть длина (скаларная величина) вектора <math>\mathbf{\vec{v}}</math>.
Стоит также отметить, что компоненты (координаты) единичного вектора <math>\mathbf{\hat{v}}</math> являются углами:
- <math>\cos\alpha
=
\frac
{\mathbf{\vec{v}}_x}
\mathbf{\lVert v \rVert}</math>
- <math>\cos\beta
=
\frac
{\mathbf{\vec{v}}_y}
\mathbf{\lVert v \rVert}</math>
- <math>\cos\gamma
=
\frac
{\mathbf{\vec{v}}_z}
\mathbf{\lVert v \rVert}</math>
В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными.
Другие системы координат
Декартова система координат
Единичные векторы могут представлять собой оси в Декартовой системе координат. К примеру, стандартные единичные векторы в направлениях <math>x, y</math>, и <math>z</math> в трёхмерном пространстве являются:
- <math>\mathbf{\hat{i}} \,\, \mathbf{=} \,
\mathbf{
\begin{bmatrix}
1\\0\\0
\end{bmatrix}, \,\,
}
\mathbf{\hat{j}} \,\, \mathbf{=} \,
\mathbf{
\begin{bmatrix}
0\\1\\0
\end{bmatrix}, \,\,
}
\mathbf{\hat{k}} \,\, \mathbf{=} \,
\mathbf{
\begin{bmatrix}
0\\0\\1
\end{bmatrix}
}</math>
Эти векторы являются взаимно ортогональными и такой базис называют ортонормированным базисом, или стандартным базисом в линейной алгебре.
Для обозночения единичных векторов также используеться и другая нотация, к примеру <math>(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math>(\mathbf\hat{x}_1, \mathbf\hat{x}_2, \mathbf\hat{x}_3)</math>, <math>(\mathbf\hat{e}_x, \mathbf\hat{e}_y, \mathbf\hat{e}_z) </math>, или <math>(\mathbf\hat{e}_1, \mathbf\hat{e}_2, \mathbf\hat{e}_3)</math>.
Общие обозначения
Общая нотация единичных векторов встречается в физике и геометрии.
| Единичный вектор | Нотация | Диаграмма |
|---|---|---|
| Вектор касательной | <math> \mathbf{\hat{t}}</math> | "200px" "200px"
Образование вектора нормали <math> \mathbf{\hat{n}}</math> к плоскости при помощи радиального вектора <math> r \mathbf{\hat{r}}</math>, а также углового компонента поворота <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}}</math> необходимо для того чтобы векторные уравнения углового движения выполнялись. |
| Вектор нормали к поверхности/плоскости содержащей радиальный компонент и угловой компонент | <math> \mathbf{\hat{n}} =
\mathbf{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}}</math>
| |
| Бинормальный вектор к касательной и нормали | <math> \mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}} </math> | |
| Единичный вектор коллинеарен к оси/линии | <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> | "200px"
Единичный вектор <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> выровнен параллельно в неком направлении (голубая линия), и ортогональный единичный вектор <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot} </math>. |
| Единичный вектор ортогонален к оси/линии | <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot} </math> | |
| Единичный вектор отклонен на некий угол относительно оси/линии | <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math> | "200px"
Единичный вектор <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math>отклонен на угол φ (от 0 до <math> \pi</math>/2 радиан) относительно оси/линии. |
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Math-stub Шаблон:Нет ссылок Шаблон:Перевести Шаблон:Вектора и матрицы
- ↑ Большая советская энциклопедия
