Русская Википедия:Жорданова матрица
Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем <math>\mathbb K</math>, с блоками вида
- <math>J_\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}.</math> Каждый блок <math>J_\lambda</math> называется жордановой клеткой с собственным значением <math>\lambda</math> (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).
Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы <math>A</math> над алгебраически замкнутым полем <math>\mathbb K</math> (например, полем комплексных чисел <math>\mathbb K = \mathbb C</math>) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица <math>C</math> над <math>\mathbb K</math>, такая, что
- <math>J=C^{-1}A\,C</math>
является жордановой матрицей. При этом <math>J</math> называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы <math>A</math>. В этом случае также говорят, что жорданова матрица <math>J</math> в поле <math>\mathbb K</math> подобна (или сопряжена) данной матрице <math>A</math>. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения
- <math>A=CJC^{-1}</math>
матрица <math>A</math> подобна в поле <math>\mathbb K</math> матрице <math>J</math>. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над <math>\mathbb K</math> в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
Свойства
- Количество жордановых клеток порядка <math>n</math> с собственным значением <math>\lambda</math> в жордановой форме матрицы <math>A</math> можно вычислить по формуле
- <math>c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1},</math>
- где <math>I</math> — единичная матрица того же порядка что и <math>A</math>, символ <math>\operatorname{rank}</math> обозначает ранг матрицы, а <math>\operatorname{rank} (A-\lambda I)^0</math>, по определению, равен порядку <math>A</math>. Вышеприведённая формула следует из равенства
- <math>\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I).</math>
- В случае если поле <math>\mathbb K</math> не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица <math>A</math> была подобна над <math>\mathbb K</math> некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле <math>\mathbb K</math> содержало все корни характеристического многочлена матрицы <math>A</math>.
- У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
- Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
- Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.
История
Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.
Вариации и обобщения
- Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: <math>\lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta</math>, где <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — вещественные числа, <math>\beta \neq 0</math>. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок <math>J_{\lambda_{1,2}}</math>, и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида <math>J_{\lambda_{1,2}}</math>, отвечающие парам комплексных собственных значений:[1][2]
- <math>J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc}
\alpha & \beta & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\beta & \alpha & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \alpha & \beta & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\beta & \alpha & 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha & \beta & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\beta & \alpha & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \alpha & \beta\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -\beta & \alpha\\ \end{array}\right).</math>
- Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем <math>\mathbb K</math> с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов <math>\mathbb K [x]</math> (умножение вектора на <math>x</math> задаётся как применение линейного оператора).
- Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Шаблон:М: Наука, 1966. — 576 с.
- Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — Шаблон:М: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
- Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
- В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
