Русская Википедия:Жорданов тотиент
Жорданов тотиент или Функция Жордана[1] — количество <math>k</math>-кортежей натуральных чисел меньших либо равных <math>n</math>, образующих вместе с <math>n</math> набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна <math>J_1</math>. Функция носит имя французского математика Жордана.
Определение
Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле
- <math>J_k(n)=n^k \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^k}\right) \,</math>, где <math>p</math> пробегает простые делители числа <math>n</math>.
Свойства
- <math>\sum_{d|n } J_k(d) = n^k \, </math>,
- что можно записать на языке свёрток Дирихле какШаблон:Sfn
- <math>J_k(n) \star 1 = n^k\,</math>,
- а через обращения Мёбиуса как
- <math>J_k(n) = \mu(n) \star n^k</math>.
- Поскольку производящая функция Дирихле <math>\mu</math> равна <math>1/\zeta(s)</math>, а производящая функция Дирихле <math>n^k</math> равна <math>\zeta(s-k)</math>, ряд для <math>J_k</math> превращается в
- <math>\sum_{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}</math>.
- Шаблон:Не переведено 5 для <math>J_k(n)</math> равен
- <math>\frac{n^k}{\zeta(k+1)}</math>.
- Пси-функция Дедекинда равна
- <math>\psi(n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)}</math>,
и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом <math>p_{-k}</math>), можно показать, что арифметические функции, определённые как <math>\frac{J_k(n)}{J_1(n)}</math> или <math>\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}</math>, являются целочисленными мультипликативными функциями.
- <math>
\sum_{\delta\mid n}\delta^sJ_r(\delta)J_s\left(\frac{n}{\delta}\right) = J_{r+s}(n) </math>. Шаблон:Sfn[2]
Порядок групп матриц
Полная линейная группа матриц порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядокШаблон:Sfn
- <math>
|\operatorname{GL}(m,\Z_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^m J_k(n). </math>
Специальная линейная группа порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядок
- <math>
|\operatorname{SL}(m,\Z_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^m J_k(n). </math>
Симплектическая группа матриц порядка <math>m</math> над <math>\Z_n</math> имеет порядок
- <math>
|\operatorname{Sp}(2m,\Z_n)|=n^{m^2}\prod_{k=1}^m J_{2k}(n). </math>
Первые две формулы были открыты Жорданом.
Примеры
Списки в OEIS J2 в Шаблон:OEIS2C, J3 в Шаблон:OEIS2C, J4 в Шаблон:OEIS2C, J5 в Шаблон:OEIS2C, от J6 до J10 в списках Шаблон:OEIS2C — Шаблон:OEIS2C.
Мультипликативные функции, определённые отношением J2(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J3(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J4(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J5(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J6(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J7(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J8(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J9(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J10(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C, J11(n)/J1(n) в Шаблон:OEIS2C.
Примеры отношений J2k(n)/Jk(n): J4(n)/J2(n) в Шаблон:OEIS2C, J6(n)/J3(n) в Шаблон:OEIS2C и J8(n)/J4(n) в Шаблон:OEIS2C.
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:ВС Шаблон:Функция Эйлера
- ↑ Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“ <math>J: \N \to \N</math> со следующим свойством: всякая конечная группа G из <math>GL_n(\Complex)</math> содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом <math>\leqslant L(n)</math>.»
- ↑ Формула Гегенбауэра
