Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия
Шаблон:Нп5. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.
Суть метода была в бросании иглы длиной <math>L</math> на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии <math>r</math> друг от друга (см. Рис. 1).
Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что <math>r>L</math>) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:
<math>p=\int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{l\sin{\theta}} \frac{1}{r\pi}dAd\theta</math>,
где
<math>A</math> — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
<math>\theta</math> — угол иглы относительно прямых.
При условии, что <math>r>L</math> получается решение: <math>p=\frac{2L}{r\pi\,}</math>. Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.
В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы[1]. Результаты представлены в следующей таблице:[2]
Число бросаний
Число пересечений
Длина иглы
Расстояние между прямыми
Вращение
Значение Пи
Ошибка
Первая попытка
500
236
3
4
отсутствует
3.1780
−0.03640734
Вторая попытка
530
253
3
4
присутствует
3.1423
−0.00070734
Третья попытка
590
939
5
2
присутствует
3.1416
+0.00000734
Комментарии:
Вращение плоскости применялось[2] (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.
Вариации и обобщения
Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.[3]
