Русская Википедия:Задача Гурса
Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.
Историческая справка
Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф[1].
Постановка задачи
Пусть в области <math>\Omega</math> задано гиперболическое уравнение <math>u_{xy} = F(x,\,y,\,u,\,u_x,\,u_y)</math> и краевое условие. Задача: найти регулярное в области <math>\Omega</math> и непрерывное в замыкании <math>\bar{\Omega}</math> решение по краевому условию.
В «Математической энциклопедии»[2] краевое условие формулируется следующим образом:
<math>u(0,\, t) = \varphi(t),\; u(t,\, 1) = \psi(t),\; \varphi(1) = \psi(0)</math>, где <math>\varphi</math> и <math>\psi</math> — заданные непрерывно дифференцируемые функции.
В учебнике Тихонова, Самарского[3] оно формулируется немного по-другому:
<math>u(x,\, 0) = \varphi_1(x),\; u(0,\, y) = \varphi_2(y)</math>, где <math>\varphi_1</math> и <math>\varphi_2</math> удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.
Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только двух функций (ср. с начально-краевой задачей).
В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.
<math>u(x,\, \pi(x)) = \varphi(x),\; u(\chi(y),\, y) = \psi(y)</math>
Решение
Существование решения
Если функция <math>F</math> непрерывна для всех <math>(x,\, y) \in \bar{\Omega}</math> и для любых <math>u,\; p=u_x,\; q=u_y</math> допускает производные <math>F_u,\; F_p,\; F_q</math>, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области <math>\bar{\Omega}</math> существует единственное и устойчивое решение.
Метод Римана
Шаблон:Mainref Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид <math>Lu \equiv u_{xy} + au_x + bu_y + cu = f</math>.
Вводится функция Римана <math>R(x,\, y;\; \xi,\, \eta)</math>, которая однозначно определяется как решение уравнения
<math>R_{xy} - (aR)_x - (bR)_y + cR = 0</math>,
удовлетворяющее условиям
<math>R(\xi,\, y;\; \xi,\, \eta) = \exp \int \limits_\eta^y a(\xi,\, t) dt </math>
<math>R(x,\, \eta;\; \xi, \eta) = \exp \int \limits_\xi^x b(t,\, \eta) dt</math>
где <math>(\xi,\, \eta) \in \Omega</math> — произвольная точка.
Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при <math>\varphi = \psi \equiv 0</math>
<math>u(x,\,y) = \int \limits_0^x d\xi \int \limits_1^y R(\xi,\, \eta;\; x,\, y) f(x,y) d\eta</math>
Метод последовательных приближений
Рассматривается два случая
- <math>F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = f(x,\, y)</math>
Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу
<math>u(x,\, y) = \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta</math>
Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.
- <math>F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = au_x + bu_y + cu + f</math>
Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению
<math>u(x,\, y) = \int \limits_0^y \int \limits_0^x \left[ au_\xi + bu_\eta + cu\right] d\xi d\eta + \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta</math>
Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение <math>u_0(x,\, y) = 0</math> подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность <math>\left\{ u_n(x,\, y) \right\}</math>. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел <math>u(x,\, y) = \lim_{n \to \infty} u_n(x,\, y)</math>. Этот предел и есть решение задачи.
Примечания
