Русская Википедия:Задача Кобона о треугольниках

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Unsolved

Файл:Kobon triangles.gif
Треугольники Кобона, образованные 3, 4 и 5 отрезками

Зада́ча Кобо́на о треуго́льниках — нерешённая задача комбинаторной геометрии, сформулированная Шаблон:Нихонго, известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число N(k) неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат конфигурации k прямых. Вариант задачи рассматривается в проективной плоскости, а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурацииШаблон:Sfn.

Верхние границы

Сабуро Тамура доказал, что наибольшее целое, не превосходящее k(k − 2)/3, даёт верхнюю границу максимального числа неперекрывающихся треугольников, получаемых из k прямых[1]. В 2007 году Иоганес Бадер и Жиль Клеман (Шаблон:Lang-de, Шаблон:Lang-fr) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого k, сравнимого с 0 или 2 по модулю 6[2]. Поэтому максимальное число треугольников на единицу меньше границы Тамура для этих случаев. Совершенные решения (решение задачи Кобона, дающие максимальное число треугольников) известны для k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17[3]. Для k = 10, 11 и 12 наилучшие известные решения на единицу меньше верхней границы.

Если дано совершенное решение с k0 прямыми, другие решения задачи Кобона о треугольниках могут быть найдены для всех значений ki, где

<math>k_{n+1} = 2 k_n - 1,</math>

при помощи процедуры Д. Форжа и Дж. Л. Рамиреза АльфонсинаШаблон:Sfn[4]. Например, решение для k0 = 3 приводит к максимальному числу неперекрывающихся треугольников для k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

Шаблон:-

k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 OEIS
Верхняя граница Тамуры для N(k) 1 2 5 8 11 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 [5]
Верхняя граница Клемана и Бадера 1 2 5 7 11 15 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 —
Лучшие известные решения 1 2 5 7 11 15 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 [6]

Примеры

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки


Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:MathWorld
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Ed Pegg Jr. on Math Games Шаблон:Wayback.
  4. ↑ Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin Шаблон:Wayback. Retrieved on 9 May 2012.
  5. ↑ Шаблон:OEIS long.
  6. ↑ Шаблон:OEIS long.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Задача_Кобона_о_треугольниках&oldid=9894284