Русская Википедия:Задача Лебега

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Задача Лебега состоит в отыскании плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой любую плоскую фигуру диаметра 1.

Замечания

Любая фигура диаметра 1 может быть накрыта фигурой постоянной ширины 1 (каждая фигура диаметра 1 — своей фигурой постоянной ширины, то есть фигура постоянной ширины зависит от фигуры диаметра 1). Для фигур постоянной ширины диаметр совпадает с шириной. Поэтому задача Лебега сводится к нахождению плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой фигуру постоянной ширины 1.

Известно, что фигура Лебега существует, но она, возможно, не единственна. Если <math>L</math> её площадь, то известно, что

<math>0{,}826

\approx \tfrac\pi8 + \tfrac{\sqrt{3}}4 <L< \tfrac2{121}\cdot \sqrt{28634\cdot\sqrt{3}-15139}+\arccos\tfrac{\sqrt{3}-1}2-\tfrac\pi3-\tfrac{109}{121}-\tfrac{82}{121\cdot\sqrt{3}} \approx 0{,}845.</math> Нижняя оценка доказана в.

Для нахождения оценки сверху достаточно представить плоскую фигуру, способную накрыть любую плоскую фигуру диаметра 1. К таким фигурам относятся (в порядке уменьшения площади):

• Квадрат со стороной 1, его площадь равна 1;
• Правильный шестиугольник ширины 1, его площадь равна <math>\tfrac{\sqrt{3}}2\approx 0{,}866</math>;
• Самой маленькой известной на сегодня фигурой с этим свойством является правильный шестиугольник ширины 1, у которого определённым способом срезаны 3 угла. С двух углов срезаны равнобедренные треугольники, основания которых касаются окружности, вписанной в шестиугольник; третий угол срезается по двум окружностям радиуса 1, касающихся сторон на расстоянии, равном стороне такого равнобедренного треугольника.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Lebesgue Minimal Problem на Wolfram Mathworld.