Русская Википедия:Задача Минковского

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Задача Минковского: Шаблон:Рамка существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность <math>F</math>, у которой гауссова кривизна <math>G(n)</math> является заданной функцией единичного вектора внешней нормали <math>n</math>. Шаблон:Конец рамки Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности <math>F</math>, даже если <math>G(n)</math> — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере <math>S</math> непрерывная положительная функция <math>G(n)</math> удовлетворяет условию

<math>\int\limits_{S}\frac n{G(n)}ds = 0,</math>

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность <math>F</math>, для которой <math>G(n)</math> является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью <math>n</math>.

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если <math>K(n)</math> принадлежит классу <math>C^m</math>, <math>m\ge3</math>, то получаемая поверхность <math>F</math> принадлежит классу гладкости <math>C^{m+1,\alpha}</math>, а в случае аналитичности <math>K(n)</math> поверхность <math>F</math> также оказывается аналитической.

Вариации и обобщения

  • Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства[1].

См. также

Литература

  1. ↑ Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Шаблон:Wayback Arxiv.org, 2007.
  • Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
  • Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
  • Шаблон:Книга
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Задача_Минковского&oldid=9894300