Русская Википедия:Задача Римана о распаде произвольного разрыва
Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва[1]. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.
Постановка
Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени <math>t=0</math> две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.
Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при <math>t > 0</math>. Другими словами, речь идет о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.
Решение
Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.
Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты <math>\gamma</math>. Пусть в начальный момент давление <math>P</math>, плотность <math>\rho</math> и скорость <math>v</math> имеют вид:
| <math>x<0</math> | <math>x>0</math> | |
| <math>v(x)</math> | <math>0</math> | <math>0</math> |
| <math>\rho(x)</math> | <math>\rho_L</math> | <math>\rho_R</math> |
| <math>P(x)</math> | <math>P_L</math> | <math>P_R</math> |
и <math>P_L>P_R</math> — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени <math>t</math> решение имеет вид
| <math>x<-c_L t</math> | <math>-c_L t<x<(v_2-c_2)t</math> | <math>(v_2-c_2)t<x<v_2 t</math> | <math>v_2 t<x<Dt</math> | <math>x>Dt</math> | |
| Невозмущённое вещество | Волна разрежения | Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом | Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны | Невозмущённое вещество | |
| <math>v(x)</math> | <math>0</math> | <math>\displaystyle v_2\frac{x+c_L t}{(v_2-c_2+c_L) t}</math> | <math>v_2</math> | <math>v_2</math> | <math>0</math> |
| <math>\rho(x)</math> | <math>\rho_L</math> | <math>\displaystyle \rho_L\left(1-\frac{\gamma-1}{2}\frac{v(x)}{c_L}\right)^{\frac{2}{\gamma-1}}</math> | <math>\rho_2</math> | <math>\rho_1</math> | <math>\rho_R</math> |
| <math>P(x)</math> | <math>P_L</math> | <math>\displaystyle P_L\left(1-\frac{\gamma-1}{2}\frac{v(x)}{c_L}\right)^{\frac{2\gamma}{\gamma-1}}</math> | <math>P_2</math> | <math>P_2</math> | <math>P_R</math> |
Здесь <math>c_L=\sqrt{\gamma P_L/\rho_L}</math> — скорость звука в невозмущенной среде слева, <math>v_2</math>, <math>P_2</math>, <math>\rho_2</math>, <math>c_2=\sqrt{\gamma P_2/\rho_2}</math> — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, <math>v_2</math>, <math>P_2</math>, <math>\rho_1</math> — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, <math>D</math> — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:
- <math>\displaystyle \rho_1=\rho_R\frac{D}{D-v_2}</math>
- <math>\displaystyle D=\frac{P_2-P_R}{\rho_R v_2}</math>
- <math>\displaystyle P_2=P_R\frac{(\gamma+1)\rho_1-(\gamma-1)\rho_R}{(\gamma+1)\rho_R-(\gamma-1)\rho_1}</math>
- <math>\displaystyle \frac{P_L}{\rho_L^\gamma}=\frac{P_2}{\rho_2^\gamma}</math>
- <math>\displaystyle v_2=\frac{2}{\gamma-1}\left(c_L-c_2\right)=\frac{2c_L}{\gamma-1}\left(1-\left(\frac{\rho_2}{\rho_L}\right)^{\frac{\gamma-1}{2}}\right)</math>
Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа[2], четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения[3].
Применение
Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.
Примечания
