Русская Википедия:Задача Ситникова
Задача Ситникова — вариант задачи трёх тел, названный по фамилии советского математика Кирилла Александровича Ситникова и касающийся движения трёх тел под действием взаимного гравитационного притяжения. Частный случай задачи Ситникова рассмотрел в 1911 году американский учёный Уильям МакМиллан, но в современном смысле задача была исследована Ситниковым в 1961 году.
Определение
Система состоит из двух главных тел с одинаковой массой <math>\left(m_1 = m_2 = \tfrac{m}{2}\right)</math>, двигающихся по круговой или эллиптической кеплеровой орбите вокруг общего центра масс. Третье тело значительно меньше главных тел, его массу можно считать нулевой <math>(m_3 = 0)</math>, оно движется под действием главных тел в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты главных тел. Начало координат системы находится в центре масс. Суммарная масса главных тел <math>m = 1</math>, орбитальный период равен <math>2\pi</math>, большая полуось орбиты главных тел <math>a = 1</math>. Гравитационная постоянная в выбранной системе единиц равна 1. В данной задаче третье тело двигается вдоль одного направления — оси z.
Уравнение движения
Для получения уравнений движения в случае круговых орбит главных тел используем выражение для полной энергии <math>\,E</math>:
- <math>E=\frac{1}{2}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2 - \frac{1}{r}.</math>
После дифференцирования по времени уравнение имеет вид
- <math>\frac{d^2z}{dt^2}=-\frac{z}{r^3}.</math>
Также справедливо равенство
- <math>r^2 = a^2 + z^2 = 1 + z^2.</math>
Следовательно, уравнение движения представимо в виде
- <math>\frac{d^2z}{dt^2} = -\frac{z}{\left(\sqrt{1+z^2}\right)^3},</math>
который описывает точно решаемую систему, поскольку она обладает только одной степенью свободы и допускает интеграл движения — энергию.
Если же главные тела двигаются по эллиптическим орбитам, то уравнение движения имеет вид
- <math>\frac{d^2z}{dt^2} = -\frac{z}{\left(\sqrt{ \rho(t)^2+z^2}\right)^3},</math>
где <math> \rho(t) = \rho(t+2 \pi) </math> — расстояние от главного тела до общего центра масс. В таком случае система обладает 1,5 степенями свободы и является хаотической.
Значение
Хотя почти невозможно в реальности обнаружить или создать такую систему трёх небесных тел, которая рассматривается в задаче Ситникова, всё же задача имеет важное значение: хотя она и представляет собой простой случай задачи трёх тел, но при решении задачи можно столкнуться с различными характеристиками хаотических систем.
См. также
Примечания
Литература
- K. A. Sitnikov: The existence of oscillatory motions in the three-body problems. In: Doklady Akademii Nauk SSSR, 133/1960, pp. 303–306, Шаблон:ISSN (English Translation in Soviet Physics. Doklady., 5/1960, S. 647–650)
- K. Wodnar: The original Sitnikov article – new insights. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56/1993, pp. 99–101, Шаблон:ISSN, pdf
- D. Hevia, F. Rañada: Chaos in the three-body problem: the Sitnikov case. In: European Journal of Physics, 17/1996, pp. 295–302, Шаблон:ISSN, pdf
- Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
- J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, ISBN 978-0691089102
