Русская Википедия:Задача одной плитки
Шаблон:Не путать Задача одной плитки (Шаблон:Lang-en) — решённая геометрическая проблема поиска одной Шаблон:Не переведено 5, которая образует Шаблон:Не переведено 5, то есть фигуры, копиями которой можно замостить пространство, но только непериодичным способом. В источниках на английском языке такие фигуры называют «einsteins» — игра слов, Шаблон:Lang-de означает «один камень»[1], и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна.
Предыстория
Шаблон:Кратное изображение Задачу одной плитки можно рассматривать как естественное продолжение второй части Шаблон:Не переведено 5, в которой задаётся вопрос о многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное евклидово пространство, причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральнымШаблон:Sfn. Такие Шаблон:Не переведено 5 были найдены Шаблон:Не переведено 5 в 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.
В 1960-е годы логик Шаблон:Нп5 рассмотрел проблему замощения плоскости квадратами с раскрашенными рёбрами (плитки Вана): можно ли замостить плоскость такими квадратами без поворотов и отражений так, чтобы квадраты соприкасались рёбрами одинакового цвета. Ван заметил, что если эта проблема алгоритмически неразрешима, то существует апериодический набор плиток Вана.
В 1966 году Роберт Бергер доказал, что проблема Вана алгоритмически неразрешима и нашел апериодический набор плиток Вана, состоящий из 20 426 плиток. Позже Бергер сократил свой набор до 104, а Ганс Лойхли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Вана.
В дальнейшем были найдены апериодические наборы из меньшего числа плиток. В 1996 году Карел Чулик нашел набор из 13 плиток Вана, и наконец в 2015 году Э. Жанделем и М. Рао был найден набор из 11 плиток, и было доказано что для плиток Вана это минимально возможный апериодический набор.
В 1971 году Рафаэль М. Робинсон обнаружил апериодический набор состоящий из шести плиток, отличных от плиток Вана. В 1973 году Роджер Пенроуз открыл плитки Пенроуза уменьшив минимальное количество плиток необходимых непериодического замощения плоскости до двух. Вопрос о существовании апериодического набора состоящего только из одной протоплитки, долгое время оставался открытым.
Частичные решения
В 1988 году Петер Шмитт обнаружил непериодическую протоплитку для трёхмерного евклидова пространства. Хотя никакое заполнение этим телом не допускает параллельный перенос, некоторые заполнения имеют Шаблон:Не переведено 5. Операция винтовой симметрии имеет вид композиции параллельного переноса и вращения на угол, несоизмеримый с π, так что никакое число повторений этих операций не приведёт к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее использована Джоном Конвеем и Людвигом Данцером для построения выпуклой непериодической плитки, плитки Шмитта — Конвея — Данцера. Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичностиШаблон:Sfn. Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы Шаблон:Не переведено 5, являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичнымиШаблон:Sfn.
В 1996 году Петра Гуммельт построила десятиугольную плитку с рисунком и показала, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток ими можно замостить плоскость, причём только апериодичным образомШаблон:Sfn. Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельт нельзя считать апериодической протоплиткой.
В начале 2010-х годов Джошуа Соколар и Джоан Тейлор предложили апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плиткиШаблон:Sfn. Конструкция плитки Соколара — Тейлор вовлекает правила соединения, правила, ограничивающие относительную ориентацию двух плиток, и правила соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.
Полное решение
«Шляпа»
В 2022 году математик-любитель Дэвид Смит обнаружил плитку в форме 13-угольной «шляпы» (Шаблон:Lang-en), состоящую из восьми копий дельтоида с углами 60°–90°–120°–90°, склеенных встык, которые, как казалось, могли непериодически замощать плоскость[2]. Смит обратился за помощью к профессиональным математикам Дж. С. Майерсу, К. С. Каплану и Х. Гудман-Штрауссу, и в 2023 году они совместно опубликовали доказательство, что «шляпа» вместе с её зеркальным отражением образуют набор плиток, который замощает плоскость исключительно непериодически, что является решением задачи одной плитки[3]. Более того, они нашли целое семейство протоплиток с таким свойством. Хотя работа ещё не прошла рецензирование, эксперты, которых опросил Science News, сообщили, что результат, вероятно, выдержит тщательную проверку[4].
«Привидение»
Найденное решение плиткой «шляпа» (как и всё бесконечное семейство плиток Смита—Майерса—Каплана—Гудман-Штраусса) имело один недостаток: для замощения плоскости некоторые плитки требовали переворота. Если запретить переворот, то в замощении участвовали две разные плитки, являющиеся зеркальным отражением друг друга, что не позволяло назвать решение задачи одной плитки в полной мере окончательным. Вскоре после своей недавней работы Смит с соавторами опубликовали описание ещё одной плитки, устранив этот недостаток. Их новая плитка, названная «привидением» (Шаблон:Lang-en), допускает только апериодическое замощение плоскости без использования зеркально отражённой плитки, тем самым окончательно решив задачу одной плитки[5].
Примечания
Ссылки
Шаблон:Rq Шаблон:Геометрические мозаики
