Русская Википедия:Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки
Шаблон:Перенести Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела[1].
Основные обозначения и уравнения движения
Общий случай
Рассмотрим вращение твёрдого тела <math> {\cal B}</math> вокруг неподвижной точки <math> O</math>. Пусть <math>OX_\alpha X_\beta X_\gamma</math> — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса <math> {\bf e}_\alpha</math>, <math> {\bf e}_\beta</math>,<math> {\bf e}_\gamma</math>, а <math>Ox_1 x_2 x_3</math> — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса <math> {\bf e}_\alpha</math>, <math> {\bf e}_\beta</math>, <math> {\bf e}_\gamma</math> на оси подвижной системы отсчёта имеют вид <math> {\bf \alpha} = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)</math>, <math> {\bf \beta} = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)</math>, <math> {\bf \gamma} = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)</math>, а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как <math> {\bf \omega}=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)</math>. Если <math> {\bf I} </math> — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях, <math> {\bf Q} ={\bf Q}(t,{\bf \omega},{\bf \alpha}, {\bf \beta}, {\bf \gamma})</math> — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид
- <math> { d\over{dt}} {\bf I \omega} = {\bf I \omega} \times \omega + {\bf Q} </math>.
Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера. Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона
- <math> { d\over{dt}} {\bf \alpha} = {\bf \alpha} \times \omega </math>, <math> { d\over{dt}} {\bf \beta} = {\bf \beta} \times \omega </math>, <math> { d\over{dt}} {\bf \gamma} = {\bf \gamma} \times \omega </math>,
описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.
Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения[2].
Случай потенциальных сил
В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом <math> U=U(t, {\bf \alpha}, {\bf \beta}, {\bf \gamma})</math>, момент сил, действующих на тело, имеет вид[3]
- <math> {\bf Q}(t,{\bf \alpha}, {\bf \beta}, {\bf \gamma}) =
{\bf \alpha} \times {{\partial U}\over{\partial {\bf \alpha}}} + {\bf \beta} \times {{\partial U}\over{\partial {\bf \beta}}} + {\bf \gamma} \times {{\partial U}\over{\partial {\bf \gamma}}}
</math>.
Законы сохранения
Интеграл площадей
Пусть <math> {\bf e} </math> — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что
- <math> ({\bf Q},{\bf e}) \equiv 0 </math>,
то сохраняется величина
- <math> {\cal J}_{\bf e} = ({\bf I \omega},{\bf e}) = p_{\bf e} \equiv 0 </math>,
представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором <math> {\bf e} </math>. Эту величину называют интегралом площадей.
Геометрические интегралы
Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов
- <math> ({\bf \alpha},{\bf \alpha}) = ({\bf \beta},{\bf \beta}) = ({\bf \gamma}, {\bf \gamma}) =1 </math>,
- <math> ({\bf \alpha},{\bf \beta}) = ({\bf \beta},{\bf \gamma}) = ({\bf \gamma}, {\bf \alpha}) =0 </math>,
выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими[4].
Интеграл энергии
Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: <math> U=U({\bf \alpha}, {\bf \beta}, {\bf \gamma}) </math>, уравнения движения допускают интеграл энергии
- <math> {\cal J}_0 = {1 \over 2} ({\bf I \omega},{\bf \omega}) + U({\bf \alpha}, {\bf \beta}, {\bf \gamma})= h </math>
Случаи интегрируемости
Случай Эйлера
Если <math> {Q} \equiv 0</math>, то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии
- <math> {\cal J}_0 = {1 \over 2} ({\bf I \omega},{\bf \omega}) = h </math>
и интегралом
- <math> {\cal J}_1 = {1 \over 2} ({\bf I \omega},{\bf I \omega}) = k^2 </math>
выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.
Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как случай Эйлера, сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта[5].
Примечания
Литература
- А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.
