Русская Википедия:Задача о пушечных ядрах

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Cannonball problem.png

Единственный нетривиальный способ укладки пушечных ядер в квадрат и в пирамиду

Задача о пушечных ядрах (Шаблон:Lang-en) — задача о нахождении числа пушечных ядер, которые можно уложить и в один слой в форме квадрата, и в форме пирамиды с квадратом в основании, то есть о нахождении квадратных чисел, также являющихся квадратными пирамидальными числами. Нахождение этого числа сводится к решению диофантова уравнения <math>\sum_{n=1}^N n^2 = M^2</math> или <math>\frac{1}{6} N(N+1)(2N+1) = M^2</math>. Уравнение имеет два решения: <math>N = 1</math> и <math>M = 1</math>, то есть одно пушечное ядро, и <math>N = 24</math> и <math>M = 70</math>, то есть 4900 пушечных ядер.

История задачи

Вопросы укладки пушечных ядер интересовали уже сэра Уолтера Рэли и его современника Томаса Хэрриота, однако в приведённой выше форме она была сформулирована в 1875 году Эдуаром Люка, предположившим, что кроме <math>N = 1</math> и <math>N = 24</math> других решений не существует. Частичные доказательства были предложены Море-Бланом (1876) и самим Люка (1877). Первое полное доказательство было предложено Уотсоном (1918); доказательство использовало эллиптические функции. Ещё одно доказательство было предложено en (Wilhelm Ljunggren) (1952) с использованием уравнения Пелля. Доказательства с использованием только элементарных функций были предложены Ма (1985) и Энглином (1990).

Доказательства

Доказательство Уотсона

Доказательство Уотсона основано на наблюдении, что из трёх чисел <math>N</math>, <math>N+1</math> и <math>2N+1</math> одно должно делиться на 3; и либо <math>N</math>, либо <math>N+1</math> должно быть чётным; и что все остальные множители должны быть квадратами. Тем самым возможны шесть вариантов:

1. <math>N = 3a^2,\ N+1 = 2b^2,\ 2N+1 = c^2;</math>
2. <math>N = 2a^2,\ N+1 = 3b^2,\ 2N+1 = c^2;</math>
3. <math>N = 2a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = 3c^2;</math>
4. <math>N = a^2,\ N+1 = 6b^2,\ 2N+1 = c^2;</math>
5. <math>N = 6a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = c^2;</math>
6. <math>N = a^2,\ N+1 = 2b^2,\ 2N+1 = 3c^2.</math>

Однако, поскольку <math>2b^2</math> при делении на 3 может иметь только остатки 0 или 2, первый вариант приводит к противоречию. Аналогичным образом можно исключить второй, третий и четвёртый варианты.

Пятый вариант приводит к решению <math>N = 24</math>. Действительно, <math>N = 6a^2,\ N+1 = b^2,\ 2N+1 = c^2</math> возможно только при нечётном <math>c</math>, и <math>(c-1)(c+1) = 12a^2</math>, то есть, существуют целые числа <math>d</math> и <math>e</math>, такие что <math>\frac{1}{2}(c-1) = d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = 3e^2,\ a = de</math> или <math>\frac{1}{2}(c-1) = 3d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = e^2,\ a = de</math>. Однако, <math>\frac{1}{2}(c-1) = d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = 3e^2,\ a = de</math> приводит к противоречию <math>3e^2 - d^2 \equiv 1 \pmod{3}</math>. Следовательно, <math>\frac{1}{2}(c-1) = 3d^2,\ \frac{1}{2}(c+1) = e^2,\ a = de</math>, то есть, <math>c-1 = 6d^2,\ c+1 = 2e^2</math> и <math>c+1 = 2e^2,\ c^2+1 = 2b^2</math>. Как показано Жероно, <math>c = 1</math> и <math>c = 7</math> являются единственными решениями последней системы уравнений. Случай <math>c = 1</math> невозможен, так как <math>N = 0</math>; случай <math>c = 7</math> приводит к <math>N = 24</math>. Альтернативное доказательство единственности решения <math>N = 24</math> в этом случае использует то, что единственными решениями <math>y^2 = 8x^4 + 1</math> являются <math>(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3)</math> и приведено в главе 6.8.2 книги Коэна.

Доказательство отсутствия нетривиальных решений в шестом варианте требует применения эллиптических функций. Действительно, шестой вариант можно привести к виду <math>2b^2 - a^2 = 1, 2b^2 + a^2 = 3c^2</math>. Вместо этих уравнений Уотсон рассматривает более общий случай <math>2X^2 - Y^2 = Z^2, 2X^2 + Y^2 = 3W^2</math> и показывает, что решения этих уравнений должны удовлетворять <math>\frac{Z}{W} = (-1)^r \operatorname{sd}((2r+1)\beta) \sqrt{\frac{3}{2}}</math>, где <math>r</math> — неотрицательное целое число, <math>\beta</math> задана <math>\operatorname{sn}(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>, <math>\operatorname{cn}(\beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>, <math>\operatorname{dn}(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>, а <math>\operatorname{sn}</math>, <math>\operatorname{cn}</math>, <math>\operatorname{dn}</math> и <math>\operatorname{sd}</math> — эллиптические функции Якоби. Далее Уотсон доказывает, что <math>Z</math> численно равно единице, только если <math>r = 0</math>, то есть <math>X^2 = Y^2 = Z^2 = W^2 = 1</math>, и единственное возможное в этом случае решение <math>N = 1</math>.

Доказательство Ма

Доказательство единственности приведённых выше решений, предложенное Ма, основывается на последовательном доказательстве следующих утверждений:

• Единственным чётным решением задачи об укладке ядер является <math>(24,70)</math>. Действительно, чётность <math>n</math> позволяет исключить варианты 1, 4 и 6 из доказательства Уотсона, варианты 2 и 3 приводят к противоречию (см. доказательство Уотсона), а <math>(24,70)</math> — единственное решение возможное для варианта 5.
• Пусть <math>\alpha = 2 + \sqrt{3}, \beta = 2 - \sqrt{3}, M_n = (\alpha^n + \beta^n)/2</math>. Тогда для неотрицательных <math>n</math>, <math>M_n</math> имеет вид <math>4x^2 + 3</math> только для <math>n = 2</math>.
• Единственным нечётным <math>N</math>, удовлетворяющим задаче об укладке ядер, является <math>N = 1</math>. Действительно, рассуждая аналогично доказательству Уотсона, нечётное <math>N</math> должно удовлетворять варианту 6, то есть, <math>N = a^2, N+1 = 2b^2, 2N+1 = 3c^2</math>. Поскольку для любого <math>x</math>, <math>(4x+3)^2 - 8(x+1)(2x+1) = 1</math> и <math>4x+3 = 2(2x+1)+1</math>, это также справедливо для <math>N</math>. Подставляя <math>2b^2</math> и <math>3c^2</math> вместо <math>x+1</math> и <math>2x+1</math>, получим <math>(2(3c^2)+1)^2 - 8\cdot 2b^2 \cdot 3c^2 = 1</math>, то есть, <math>(6c^2+1)^2 - 3(4bc)^2 = 1</math>. Поскольку <math>2 + \sqrt{3}</math> порождает группу единиц <math>\Z[\sqrt{3}]</math>, существует <math>n\in \Z</math> такое, что <math>6c^2+1 + 4bc\sqrt{3} = \pm(M_n + G_n\sqrt{3})</math>, где <math>M_n</math> определено выше, а <math>G_n = (\alpha^n + \beta^n)/(\alpha - \beta)</math>. Поскольку <math>M_n</math> положительно, <math>M_n = 6c^2+1</math> и, по определению <math>a</math>, <math>M_n = 4a^2 + 3</math>. По предыдущей лемме, <math>n = 2, M_n = 7</math>, то есть <math>a = 1</math> и <math>n = 1</math>.

Подробности доказательства приведены в главе 6.8.2 книги Коэна.

Обобщения задачи

За исключением тривиального случая <math>N = 1</math> не существует числа пушечных ядер, которые бы можно было уложить в виде пирамиды с квадратом в основании, и которое бы при этом одновременно являлось кубом, четвёртой или пятой степенью натурального числа. Более того, это же справедливо для укладки ядер в виде правильного тетраэдра.

Другим обобщением задачи является вопрос о нахождении числа ядер, которые можно уложить в форме квадрата и усечённой пирамиды с квадратом в основании. То есть ищут <math>n</math> последовательных квадратов (не обязательно начиная с 1), сумма которых является квадратом. Известно, что множество <math>S</math> таких <math>n</math> бесконечно, имеет асимптотическую плотность ноль и для <math>n</math>, не являющихся квадратами, существует бесконечно много решений. Число <math>N(x)</math> элементов множества <math>S</math>, не превышающих <math>x</math>, оценивается как <math>c_1\sqrt{x} < N(x) < c_2 \frac{x}{\ln{ x}}</math>. Первые элементы <math>n</math> множества <math>S</math> и соответствующие наименьшие значения <math>a</math>, такие что <math>\sum_{k=a}^{a+n-1} k^2</math> является квадратом, приведены в следующей таблице:

n	2	11	23	24	26	33	47	49	50	59
a	3	18	7	1	25	7	539	25	7	22

Для <math>n = 2</math> и <math>a = 3</math> решением является пифагорова тройка <math>3^2 + 4^2 = 5^2</math>. Для <math>n = 24</math> и <math>a = 1</math> решением является приведённое выше решение задачи об укладке пушечных ядер. Последовательность элементов множества <math>S</math> — Шаблон:OEIS.

Ещё одно обобщение задачи было рассмотрено Канэко и Татибаной: вместо вопроса о равенстве суммы первых квадратных чисел и другого квадратного числа, они рассмотрели вопрос о равенстве суммы первых многоугольных чисел и другого многоугольного числа и показали, что для любого <math>m\geqslant 3</math> существует бесконечно много последовательностей первых <math>m</math>-угольных чисел, таких что их сумма равна другому многоугольному числу, и что для любого <math>n\geqslant 3</math> существует бесконечное число <math>n</math>-угольных чисел, представимых в виде суммы последовательностей первых многоугольных чисел. Более того, Канэко и Татибана установили, что для любого натурального <math>k</math> выполняются следующие отношения:

<math>Pyr_{m}(3(m-2)k - 2) = G_{9k+2}((m-2)^2k - m + 3),</math>

<math>Pyr_m(3k - 1) = G_{(m-2)k+3}(3k - 1),</math>

<math>Pyr_m(6k - 3) = G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k - 1),</math>

<math>G_n((n - 2)k^2 - 3k + 1) = Pyr_{3k+2}((n - 2)k - 2),</math>

<math>G_n(8k^2 - 6k + 1) = Pyr_{3(n-2)k+2}(4k - 2),</math>

где <math>G_m(n)</math> — <math>n</math>-ое <math>m</math>-угольное число, а <math>Pyr_m(n)</math> — <math>n</math>-ое <math>m</math>-угольное пирамидальное число, то есть, сумма <math>n</math> первых <math>m</math>-угольных чисел.

Связь с другими областями математики

Нетривиальное решение <math>N=24</math> приводит к построению решётки Лича (которая, в свою очередь, связана с различными областями математики и теоретической физики — теория бозонных струн, монстр). Это делается с помощью чётной унимодулярной решётки <math>\mathrm{II}_{25,1}</math> в 25+1-мерном псевдоевклидовом пространстве. Рассмотрим вектор этой решётки <math>w=(0,\;1,\;2,\;\ldots,\;23,\;24;\;70)</math>. Поскольку <math>N=24</math> и <math>M=70</math> — решение задачи об укладке пушечных ядер, этот вектор — светоподобный, <math>w\cdot w=0</math>, откуда, в частности, следует, что он принадлежит собственному ортогональному дополнению <math>w^\bot</math>. Согласно Конвею, вектор <math>w</math> позволяет построить решётку Лича

• как фактормножество <math>(w^\bot\cap\mathrm{II}_{25,1})/w</math>, которое корректно определено благодаря светоподобности <math>w</math>;
• как множество всех векторов <math>r\in\mathrm{II}_{25,1}</math> таких, что <math>r\cdot r=2, r\cdot w=-1</math>. Такие векторы составляют множество так называемых фундаментальных корней решётки <math>\mathrm{II}_{25,1}</math>. Во всех случаях, когда можно таким способом построить множество фундаментальных корней чётной унимодулярной решётки в псевдоевклидовом пространстве <math>\mathrm{II}_{n,1}</math>, всегда можно использовать целочисленный вектор с идущими подряд от ноля пространственными компонентами; а чтобы это множество образовывало решётку, этот вектор должен быть светоподобным. И поскольку <math>N=24</math> — единственное нетривиальное решение задачи об укладке пушечных ядер, то 24-мерная решётка Лича — единственная решётка, которую можно таким способом получить из <math>\mathrm{II}_{n,1}</math>.

См. также

• Плотная упаковка равных сфер