Русская Википедия:Задача о четырёх кубах

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

<math>x^3+y^3+z^3=w^3.</math>

Следует отметить, что в то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2023 год неизвестно.

История

Еще Платону было известно, что сумма кубов сторон пифагорейского треугольника также является кубом <math>3^3+4^3+5^3=6^3</math>, о чем он упоминает в своем «Государстве».

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

<math>3^3+4^3+5^3=6^3</math>

<math>1^3+6^3+8^3=9^3</math>

<math>3^3+10^3+18^3=19^3</math>

<math>7^3+14^3+17^3=20^3</math>

<math>4^3+17^3+22^3=25^3</math>

<math>18^3+19^3+21^3=28^3</math>

<math>11^3+15^3+27^3=29^3</math>

<math>2^3+17^3+40^3=41^3</math>

<math>6^3+32^3+33^3=41^3</math>

<math>16^3+23^3+41^3=44^3</math>

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

<math>-1^3+9^3+10^3=12^3</math>

<math>-2^3+9^3+15^3=16^3</math>

<math>-2^3+15^3+33^3=34^3</math>

<math>-2^3+41^3+86^3=89^3</math>

<math>-3^3+22^3+59^3=60^3</math>

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)

• <math>x=-a(b-3c)(b^2+3c^2)+a^4</math>

  <math>y=\quad a(b+3c)(b^2+3c^2)-a^4</math>

  <math>z=\quad a^3(b-3c)-(b^2+3c^2)^2</math>

  <math>w=\quad a^3(b+3c)-(b^2+3c^2)^2</math>

Н. Элкис

<math>\begin{cases}

x = d(-(s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t - s^3 + rs^2 - 2r^2s - r^3), \\ y = d(t^3 - (s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t + rs^2 - 2r^2s + r^3), \\ z = d(-t^3 + (s+r)t^2 - (s^2+2r^2) t + 2rs^2 - r^2s + 2r^3), \\ w = d((s-2r)t^2 + (r^2-s^2) t + s^3 - rs^2 + 2r^2s - 2r^3) \end{cases}</math>

Другие серии решений

Леонард Эйлер, 1740 год

• <math>x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)</math>

  <math>y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2)</math>

  <math>z=-a-3b+(a^2+3b^2)^2</math>

  <math>w=-a+3b+(a^2+3b^2)^2</math>

Линник, 1940 год

• <math>x=b(a^6-b^6)</math>

  <math>y=a(a^6-b^6)</math>

  <math>z=b(2a^6+3a^3b^3+b^6)</math>

  <math>w=a(a^6+3a^3b^3+2b^6)</math>

• <math>x=a^2(b^6-7)+9ac-3c^2</math>

  <math>y=a^2 \big [b^3(2b^3+9)+7 \big ]-3ac(2b^3+3)+3c^2</math>

  <math>z=a^2 b \big [b^3(b^3+3)+2 \big ]-3abc(b^3+2)+3bc^2</math>

  <math>w=a^2 b \big [b^3(b^3+6)+11 \big ]-3abc(b^3+4)+3bc^2</math>

• <math>x=3a^2(b^6-7)-9ac-c^2</math>

  <math>y=3a^2 \big [b^3(2b^3-9)+7 \big ]-3ac(2b^3-3)+c^2</math>

  <math>z=3a^2 b \big [b^3(b^3-6)+11 \big ]-3abc(b^3-4)+bc^2</math>

  <math>w=3a^2 b \big [b^3(b^3-3)+2 \big ]-3abc(b^3-2)+bc^2</math>

Роджер Хит-Браун, 1993 год

• <math>x=9a^4</math>

  <math>y=3a-9a^4</math>

  <math>z=1-9a^3</math>

  <math>w=1</math>

Морделл, 1956 год

• <math>x=9a^3b+b^4</math>

  <math>y=9a^4</math>

  <math>z=-b^4</math>

  <math>w=9a^4+3ab^3</math>

• <math>x=9a^3b-b^4</math>

  <math>y=9a^4-3ab^3</math>

  <math>z=b^4</math>

  <math>w=9a^4</math>

• <math>x=9a^3b+b^4</math>

  <math>y=9a^3b-b^4</math>

  <math>z=9a^4-3ab^3</math>

  <math>w=9a^4+3ab^3</math>

Решение, полученное методом алгебраической геометрии

• <math>x=3a\left (a^2+ab+b^2 \right )-9</math>

  <math>y=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2-9a</math>

  <math>z=3 \left (a^2+ab+b^2 \right )(a+b)+9</math>

  <math>w=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2+9(a+b)</math>

Рамануджан

• <math>x=3a^2+5ab-5b^2</math>

  <math>y=4a^2-4ab+6b^2</math>

  <math>z=5a^2-5ab-3b^2</math>

  <math>w=6a^2-4ab+4b^2</math>

• <math>x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2)</math>

  <math>y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2</math>

  <math>z=a^6-1-3b-3b^2</math>

  <math>w=a^7-3a^4b+a(3b^2-1)</math>

• <math>x=-a^2+9ab+b^2</math>

  <math>y=a^2+7ab-9b^2</math>

  <math>z=2a^2-4ab+12b^2</math>

  <math>w=2a^2+10b^2</math>

Неизвестный автор, 1825 год

• <math>x=a^9-3^6</math>

  <math>y=-a^9+3^5a^3+3^6</math>

  <math>z=3^3a^6+3^5a^3</math>

  <math>w=3^2a^7+3^4a^4+3^6a</math>

Д. Лемер, 1955 год

• <math>x=3888a^{10}-135a^4</math>

  <math>y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a</math>

  <math>z=3888a^9+648a^6-9a^3+1</math>

  <math>w=1</math>

В. Б. Лабковский

• <math>x=4b^2-11b-21</math>

  <math>y=3b^2+11b-28</math>

  <math>z=5b^2-7b+42</math>

  <math>w=6b^2-7b+35</math>

Харди и Райт

• <math>x=a(a^3-2b^3)</math>

  <math>y=b(2a^3-b^3)</math>

  <math>z=b(a^3+b^3)</math>

  <math>w=a(a^3+b^3)</math>

• <math>x=a(a^3-b^3)</math>

  <math>y=b(a^3-b^3)</math>

  <math>z=b(2a^3+b^3)</math>

  <math>w=a(a^3+2b^3)</math>

Г. Александров, 1972 год

• <math>x=7a^2+17ab-6b^2</math>

  <math>y=42a^2-17ab-b^2</math>

  <math>z=56a^2-35ab+9b^2</math>

  <math>w=63a^2-35ab+8b^2</math>

• <math>x=7a^2+17ab-17b^2</math>

  <math>y=17a^2-17ab-7b^2</math>

  <math>z=14a^2-20ab+20b^2</math>

  <math>w=20a^2-20ab+14b^2</math>

• <math>x=21a^2+23ab-19b^2</math>

  <math>y=19a^2-23ab-21b^2</math>

  <math>z=18a^2+4ab+28b^2</math>

  <math>w=28a^2+4ab+18b^2</math>

• <math>x=3a^2+41ab-37b^2</math>

  <math>y=37a^2-41ab-3b^2</math>

  <math>z=36a^2-68ab+46b^2</math>

  <math>w=46a^2-68ab+36b^2</math>

• <math>x=-4a^2+22ab-9b^2</math>

  <math>y=36a^2-22ab+b^2</math>

  <math>z=40a^2-40ab+12b^2</math>

  <math>w=48a^2-40ab+10b^2</math>

Аджай Чоудхри, 1998 год

• <math>dx_1=(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)+(2a+b)c^3,</math>

  <math>dx_2=-\{a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4-(a-b)c^3\},</math>

  <math>dx_3=c(-a^3+b^3+c^3),</math>

  <math>dx_4=-\{(2a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)c+c^4\},</math>

где числа <math>a,b,c</math> — произвольные целые, а число <math>d\ne 0</math> выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)=1</math>.

Коровьев, 2012 год

• <math>x=-(2a^2-2ab-b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4</math>

  <math>y=\quad(2a^2-2ab-b^2)c^3d+(a^2-ab+b^2)^2 d^4</math>

  <math>z=\quad(a^2+2ab-2b^2)c^3d-(a^2-ab+b^2)^2 d^4</math>

  <math>w=\quad(a^2+2ab-2b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4</math>

где <math>a</math>, <math>b \, , \, c</math> и <math>d</math> — любые целые числа.

См. также

• Гипотеза Эйлера
• Сумма трёх кубов

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Решение Лабковского (Задание №2)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld