Русская Википедия:Задача со счастливым концом

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Happy-End-problem.svg
Задача со счастливым концом: любое множество из пяти точек содержит вершины выпуклого четырёхугольника.

Задача со счастливым концом — утверждение о том, что любое множество из пяти точек на плоскости в общем положении[1] имеет подмножество из четырёх точек, которые являются вершинами выпуклого четырёхугольника.

История

Этот результат комбинаторной геометрии назван Палом Эрдёшем «задачей со счастливым концом», поскольку решение проблемы завершилось свадьбой Дьёрдя Секереша и Шаблон:Нп2. Известна также как «теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках».

Обобщения результата на произвольное число точек являются предметом интереса математиков XX и XXI веков.

Доказательство

Если не менее четырёх точек образуют выпуклую оболочку, в качестве выпуклого четырёхугольника можно выбрать любой набор из четырёх точек оболочки. В противном случае имеется треугольник и две точки внутри него. Прямая, проходящая через две внутренние точки, в силу общего положения точек не пересекает одну из сторон треугольника. Вершины этой стороны и две внутренние точки образуют выпуклый четырёхугольник.

Многоугольники с произвольным числом вершин

Эрдёш и Секереш обобщили этот результат на произвольное число точек, что является оригинальным развитием теории Рамсея. Они также выдвинули «гипотезу Эрдёша — Секереша» — точную формулу для максимального числа вершин выпуклого многоугольника, обязательно существующего в множестве из заданного числа точек в общем положении.

Файл:8-points-no-pentagon.svg
Восемь точек в общем положении для которых нет выпуклого пятиугольника.

В Шаблон:Harv доказано следующее обобщение: для любого натурального <math>N</math>, всякое достаточно большое множество точек в общем положении на плоскости имеет подмножество <math>N</math> точек, которые являются вершинами выпуклого многоугольника. Это доказательство появилось в той же статье, где доказывается теорема Эрдёша — Секереша о монотонных подпоследовательностях в числовых последовательностях.

Размер множества как функция числа вершин многоугольника

Пусть <math>f(N)</math> означает минимальное <math>M</math>, для которого любое множество из <math>M</math> точек в общем положении содержит выпуклый <math>N</math>-угольник. Известно, что:

  • <math>f(3) = 3</math>, очевидно.
  • <math>f(4) = 5</math>, доказала Эстер Секереш.
  • <math>f(5) = 9</math>, согласно Шаблон:Harv, это первым доказал Э. Макаи; первое опубликованное доказательство появилось в Шаблон:Harv. Множество из восьми точек, не содержащее выпуклый пятиугольник, на иллюстрации показывает, что <math>f(5) > 8</math>; сложнее доказать, что любое множество из девяти точек в общем положении содержит выпуклый пятиугольник.
  • <math>f(6) = 17</math>, это было доказано в Шаблон:Harv. В работе реализован сокращённый компьютерный перебор возможных конфигураций из 17 точек.
  • Значения <math>f(N)</math> неизвестны для <math>N > 6</math>.

Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек

Исходя из известных значений <math>f(N)</math> для <math>N = 3, 4, 5</math>, Эрдёш и Секереш предположили, что:

<math> f(N) = 1 + 2^{N-2} </math> для всех <math>N</math>.

Эта гипотеза не доказана, но известны оценки сверху и снизу.

Оценки скорости роста f(N)

Конструктивным построением авторы гипотезы сумели позднее доказать оценку снизу, совпадающую с гипотетическим равенством:

<math>f(N) \geq 1 + 2^{N-2}</math>, Шаблон:Harv

Однако наилучшая известная оценка сверху при <math>N \ge 7</math> не является близкой:

<math>f(N) \leq {2N-5 \choose N-2} + 1 = O\left(\frac{4^N}{\sqrt N}\right)</math>, Шаблон:Harv

(использованы биномиальные коэффициенты).

Пустые многоугольники

Интересен также вопрос о том, содержит ли достаточно большое множество точек в общем положении пустой выпуклый четырёхугольник, пятиугольник, и так далее. То есть многоугольник, не содержащий внутренних точек.

Если внутри четырёхугольника, существующего согласно теореме со счастливым концом, есть точка, то, соединив эту точку с двумя вершинами диагонали, мы получим два четырёхугольника, один из которых выпуклый и пустой. Таким образом, пять точек в общем положении содержат пустой выпуклый четырёхугольник, как видно на иллюстрации. Любые десять точек в общем положении содержит пустой выпуклый пятиугольник Шаблон:Harv. Однако существуют сколь угодно большие множества точек в общем положении, которые не содержат пустой выпуклый семиугольник.Шаблон:Harv

Таким образом, задача о пустых многоугольниках не является проблемой теории Рамсея и в принципе решена.

Вопрос о существовании пустого шестиугольника долгое время оставался открытым. Но в Шаблон:Harv и Шаблон:Harv было доказано, что всякое достаточно большое множество точек в общем положении содержит пустой шестиугольник. Сегодня известно, что это множество должно содержать не более f(9) (предположительно 129) и не менее 30 точек.Шаблон:Harv.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ В данном контексте общее положение означает, что никакие три точки не лежат на одной прямой.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Задача_со_счастливым_концом&oldid=9894556