Русская Википедия:Задача трёх тел
Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.
Математическая формулировка
Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
<math> \left. \begin{array}{c}
\ddot \boldsymbol{q}_1 = \gamma m_2 \dfrac{\boldsymbol{q}_2-\boldsymbol{q}_1}{|\boldsymbol{q}_2-\boldsymbol{q}_1|^3}
+ \gamma m_3 \dfrac{\boldsymbol{q}_3-\boldsymbol{q}_1}{|\boldsymbol{q}_3-\boldsymbol{q}_1|^3} \\
\ddot \boldsymbol{q}_2 = \gamma m_1 \dfrac{\boldsymbol{q}_1-\boldsymbol{q}_2}{|\boldsymbol{q}_1-\boldsymbol{q}_2|^3}
+ \gamma m_3 \dfrac{\boldsymbol{q}_3-\boldsymbol{q}_2}{|\boldsymbol{q}_3-\boldsymbol{q}_2|^3} \\
\ddot \boldsymbol{q}_3 = \gamma m_1 \dfrac{\boldsymbol{q}_1-\boldsymbol{q}_3}{|\boldsymbol{q}_1-\boldsymbol{q}_3|^3}
+ \gamma m_2 \dfrac{\boldsymbol{q}_2-\boldsymbol{q}_3}{|\boldsymbol{q}_2-\boldsymbol{q}_3|^3}
\end{array} \quad \right\} </math>
где <math>\gamma</math> — гравитационная постоянная, <math> m_i </math> — массы тел, <math> \boldsymbol{q}_i </math> — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.
Частные решения
На данный момент известно более тысячи частных решений:
- Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.
- Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, остаётся равносторонним и вращается в пространстве.
- В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
- В 1911 году У. Д. Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования. Лишь в 1961 году советский математик К. А. Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова).
- В середине 1970-х годов Шаблон:Нп4 (Шаблон:Lang-en), Шаблон:Нп4 (Шаблон:Lang-fr) и Дж. Хаджидеметриу (Шаблон:Lang-en) независимо обнаружили семейство траекторий Бруке-Хено-Хаджидеметриу[1].
- В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок», нашёл МурШаблон:Sfn[2].
- В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде нашли 11 новых периодических частных решений для задачи трёх тел, одинаковых по массе[1][3].
- К 2017 году группа китайских математиков создала собственный алгоритм для поиска периодических траекторий, названный ими «чистое численное моделирование» (Clean Numerical Simulation). С его помощью учёные рассчитали новые траектории, в результате число известных семейств периодических траекторий для задачи трёх тел стало равным 695. Продолжая работу, эта группа учёных рассчитала ещё 1223 частных решений задачи.
- В 2018 году математик Шаблон:Iw и его коллеги из Шанхайского университета транспорта с помощью суперкомпьютера нашли 234 новых частных решения для задачи трёх тел без коллизий[4].
Общий случай
Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II): Шаблон:Начало цитаты Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной. Шаблон:Конец цитаты
Приближённое решение
По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде
- <math>
\lim \limits_{n\rightarrow \infty}P_{n}(t)</math>, где <math>P_{n}</math> — некоторые полиномы.
Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.
Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:
- Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией <math>t</math> в интервале <math>[0,t_0)</math> и перестает быть таковым при <math>t=t_0</math>, то при <math>t\rightarrow t_0-0</math> или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). (Пенлеве, 1897);
- Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. (Ф. А. Слудский, 1874);
- Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр <math>s</math>, через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси <math>s</math>. (Зундман, 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)[5]).
Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от <math>t</math>, а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями <math>s</math> вдоль всей вещественной оси плоскости <math>s</math>, то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса <math>|v|<1</math>, поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра <math>v</math>, голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням <math>v</math>. Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий[6], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум <math>10^{8 \cdot 10^6}</math> членов.
Точное решение
Система трёх тел является простейшей системой с динамическим хаосом[1].
Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой[1]. Сделанное ими открытие означает, что динамические системы не изоморфны.
Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.
См. также
- Задача двух тел
- Гравитационная задача N тел
- Майкл Минович
- Уравнения Фаддеева (задача трёх частиц в квантовой механике)
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:ВС Шаблон:Небесная механика
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Шаблон:Публикация
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
- ↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768, 1931.
