Русская Википедия:Закон Бернулли

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

Шаблон:Механика сплошных сред Зако́н Берну́ллиШаблон:Sfn (также уравне́ние Берну́ллиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn, теоре́ма Берну́ллиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn или интегра́л Берну́ллиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости Шаблон:Sfn (то есть без вязкости и теплопроводности).

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли^{[K 1]}. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 годуШаблон:Sfn для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 годуШаблон:Sfn.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Шаблон:Физическая величина Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина <math>\rho v^2/2 + \rho g h+ p</math> сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

<math>\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h+ p = \text{const}.</math>

Здесь

<math>\rho</math> — плотность жидкости;

<math>v</math> — скорость потока;

<math>h</math> — высота;

<math>p</math> — давление;

<math>g</math> — ускорение свободного падения.

Шаблон:Hider Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлениемШаблон:Sfn. Могут также использоваться термины «весовое давление» <math>\rho g h</math>, «статическое давление» <math>p</math> и «динамическое давление» <math>\rho v^2/2</math>. По словам Д. В. Сивухина Шаблон:Sfn, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии^[1]).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Шаблон:Main

Файл:TorricelliLaw.svg

Иллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

<math>h</math> — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

<math>v</math> — скорость истечения жидкости,

<math>p_0</math> — атмосферное давление.

Отсюда: <math>v = \sqrt{2gh}</math>. Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты <math>h</math>. Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосудеШаблон:Sfn.

Другие проявления и применения закона Бернулли

Файл:ЭФФЕКТ ВЕНТУРИ.GIF

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука Шаблон:Sfn. Шаблон:Main

Вдоль горизонтальной трубы координата <math>z</math> постоянна и уравнение Бернулли принимает вид <math>\frac{\rho v^2}{2} + p = \text{const}</math>. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури^[2] и струйного насоса Шаблон:Sfn.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)^[3].

Применение в гидравлике

Шаблон:Main Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» <math>\rho g</math>:

<math>H = h + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \text{const},</math>

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия: Шаблон:Физическая величина

<math>H</math> — гидравлическая высотаШаблон:Sfn или напор Шаблон:Sfn,

<math>h</math> — нивелирная высотаШаблон:Sfn,

<math>\frac{p}{\rho g}</math> — пьезометрическая высотаШаблон:Sfn или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напорШаблон:Sfn,

<math> \frac{v^2}{2g}</math> — скоростная высотаШаблон:Sfn или скоростной напорШаблон:Sfn.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»Шаблон:Sfn.

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Шаблон:Main Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости^{[K 2]}^{[K 3]}. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: <math>\rho=\rho(p)</math>, что позволяет ввести функцию давленияШаблон:Sfn <math>\mathcal P = \int{\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}}.</math> В этих предположениях величина

<math>\frac {v^2}{2} + gh + \mathcal P = \text{const}</math>

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом <math>gh</math> заменяется на потенциал массовой силы <math>\varphi</math>. Шаблон:Hider{v},</math> касательный к линии тока, даёт:

<math> \frac\partial{\partial l}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}\right)=0 </math>

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению <math>\frac\partial{\partial l}</math>, а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока <math>\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}=\mathrm{const}.</math> Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по <math>\mathrm{rot}\,\vec v. </math>

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}} Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости <math>\vec v=\operatorname{grad}\psi</math>, интеграл Бернулли в виде <math>\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac {\left(\operatorname{grad}\psi\right)^2}{2}+ gh+ {\cal P} =\mathrm{const}</math>^{[K 4]} сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего теченияШаблон:Sfn.

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический законШаблон:Sfn

<math>p=\frac{p_0}{\rho_0^\gamma}\rho^\gamma,\qquad\rho=\frac{\rho_0}{p_0^{1/\gamma}}p^{1/\gamma},\qquad{\cal P}=-\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right],</math>

то уравнение Бернулли выражается такШаблон:Sfn (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

<math>\frac{v^2}{2}-\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]=\mathrm{const}</math> вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

<math>\gamma = \frac{C_p}{C_V}</math> — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

<math>p,\ \rho</math> — давление и плотность газа,

<math>p_0,\ \rho_0</math> — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за <math>p_0,\ \rho_0,</math> тогда скорость истечения выражается через внешнее давление <math>p</math> по формуле Сен-Венана — ВанцеляШаблон:Sfn:

<math>v^2=\frac{2\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right].</math>

Термодинамика закона Бернулли

Шаблон:Main Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

<math>\frac{v^2}{2} + w + \varphi = \text{const},\quad s = \text{const},</math>

где <math>w</math> — энтальпия единицы массы, <math>\varphi</math> — гравитационный потенциал (равный <math>gz</math> для однородной силы тяжести), <math>s</math> — энтропия единицы массы. Шаблон:Hider{v},</math> касательный к линии тока даёт

<math> \frac\partial{\partial l}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi\right)=-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial l},</math>

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению <math>\frac\partial{\partial l}. </math>

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

<math>\mathrm{d}w = \frac1\rho \mathrm{d}p + T \mathrm{d}s,</math>

где <math> w </math> — энтальпии единицы массы, <math>T</math> — температура и <math>s</math> — энтропия единицы массы, даёт

<math> \frac{\partial w}{\partial l}= \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial l}+T\frac{\partial s}{\partial l},\quad </math> так что <math> \frac{\partial}{\partial l} \left( \frac{v^2}{2} + w + \varphi \right) = T\frac{\partial s}{\partial l}. </math>

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропиюШаблон:Sfn (<math>\partial s/\partial l = 0</math>), поэтому вдоль линии тока:

<math>s = \text{const},\quad \frac{v^2}{2} + w + \varphi = \text{const}.</math>

 |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
 title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
 content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
 hidden=1

}} Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (<math>s = \text{const}</math>). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скоростиШаблон:Sfn.

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоитсяШаблон:Sfn. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений^[4]), в магнитной гидродинамике^[5], феррогидродинамике^[6]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света <math>c</math>, интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантныхШаблон:Sfn удельной энтальпии и удельной энтропииШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли

Шаблон:ВС Шаблон:Добротная статья

Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «K» не найдено соответствующего тега <references group="K"/>

[2] Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Cite web

[8] Шаблон:Статья

[9] Шаблон:Книга

[10] Шаблон:Книга

[K 1]

[1]

[2]

[3]

[K 2]

[K 3]

[K 4]

[4]

[5]

[6]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Закон Бернулли

Содержание