Русская Википедия:Закон Гука
Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), прямо пропорциональна силе упругости, возникающей в этом теле. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком[1].
Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.
Закон Гука для тонкого стержня
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
- <math>F = k \Delta l.</math>
Здесь <math>F</math> — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, <math>\Delta l</math> — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а <math>k</math> — коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения <math>S</math> и длины <math>L</math>) явно, записав коэффициент упругости как
- <math>k = \frac{ES} L.</math>
Величина <math>E</math> называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.
Если ввести относительное удлинение
- <math>\varepsilon = \frac{\Delta l} L</math>
и нормальное напряжение в поперечном сечении
- <math>\sigma = \frac F S ,</math>
то закон Гука для относительных величин запишется как
- <math>\sigma = E\varepsilon \ .</math>
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме
- <math>\Delta l = \frac{FL} {ES}.</math>
Закон Гука и измерение силы
Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром[2]. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется[3].
Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.
Обобщённый закон Гука
В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга <math>C_{ijkl}</math> и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора <math>C_{ijkl}</math>, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
- <math>\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},</math>
где <math>\sigma_{ij}</math> — тензор напряжений, <math>\varepsilon_{kl},</math> — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор <math>C_{ijkl}</math> содержит только два независимых коэффициента.
Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.
Для линейно упругого изотропного тела:
- <math>\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_y-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>
- <math>\varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_z</math>
- <math>\varepsilon_z=\frac{\sigma_z}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_y</math>
- <math>\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}</math>
- <math>\gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}</math>
- <math>\gamma_{xz}=\frac{\tau_{xz}}{G}</math>
где:
- <math>E</math> — модуль Юнга;
- <math>\mu</math> — коэффициент Пуассона;
- <math>G=\frac{E}{2(1+\mu)}</math> — модуль сдвига.
См. также
Примечания
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Cм. статью «Динамометр» Шаблон:Wayback в «Сельскохозяйственной энциклопедии», Т. 1 (А — Е), ред. коллегия: П. П. Лобанов (глав ред) [и др.] (1949)
