Русская Википедия:Закон Кюри
Зако́н Кюри́ — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:
- <math>M = C \cdot \frac{B}{T},</math>
где в единицах Международной системе единиц (СИ): <math>M</math> — получаемая намагниченность материала; <math>B</math> — магнитное поле, измеренное в теслах; <math>T</math> — абсолютная температура в кельвинах; <math>C</math> — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально Пьером Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.
Вывод закона с использованием квантовой статистической механики
Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной <math>\vec{\mu}</math>. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:
- <math>E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}.</math>
Области с двумя состояниями (спин-1/2)
Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента <math>\mu</math>, <math>-\mu</math> и два значения энергии: <math>E_0 = - \mu B</math> и <math>E_1 = \mu B.</math> При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала <math>\mu</math>:
- <math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right)
= {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right)
= {2\mu \over Z} \operatorname{sh}( \mu B\beta), </math>
где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма <math>Z</math> обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:
- <math>Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \operatorname{ch}\left(\mu B\beta\right).</math>
Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:
- <math>\left\langle\mu\right\rangle = \mu \operatorname{th}\left(\mu B\beta\right).</math>
Используя полученное выражение для одной области, получаем намагниченность всего материала:
<math>M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \operatorname{th}\left({\mu B\over k T}\right).</math>
Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры <math>T</math> велико, а <math>B</math> мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:
- <math>\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1.</math>
И так как известно, что в случае <math>|x| \ll 1</math> выполняется соотношение
- <math>\operatorname{th} x \approx x,</math>
получаем результат:
- <math>\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={N\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},</math>
где константа Кюри равна <math>C= N\mu^2/k.</math> Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей <math>M</math> и <math>N\mu</math> имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.
Общий случай
В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. Шаблон:Lang-en). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.
Получение с помощью классической статистической механики
Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют собой области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:
- <math>E = - \mu B\cos\theta, </math>
где <math>\theta</math> — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты <math>z</math>. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:
- <math>Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).</math>
Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла <math>\phi</math>, и мы также можем осуществить замену переменной <math>y=\cos\theta</math>, что позволяет получить:
- <math>Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }= {4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .} </math>
Математическое ожидание компоненты <math>z</math> будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по <math>\phi</math>:
- <math>\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .</math>
Для упрощения вычислений запишем выражение в дифференциальной форме по переменной <math>Z</math>:
- <math>\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z B} \partial_\beta Z,</math>
что даёт:
- <math>\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta), </math>
где <math>L</math> носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):
- <math> L(x)= \coth x -{1 \over x}.</math>
Может показаться, что эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений <math>x</math>, но на самом деле разрыва нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента <math>L(x) \approx x/3</math>, что сохраняет действие закона Кюри, но со втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.
Применения
Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет использовать их в качестве магнитных термометров.
См. также
Ссылки
- Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
- Шаблон:БСЭ3
