Русская Википедия:Закон Рэлея — Джинса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Зако́н Рэле́я — Джинса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения <math>u(\omega , T)</math> и испускательной способности <math>I(\omega , T)</math> абсолютно чёрного тела, который получили Рэлей и Джинс в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывавшему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче.

Вывод формулы

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей <math>kT</math>. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

<math> \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{2 \pi^2 v^3} </math>.

Файл:Blackbody-lg.png

Зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

В нашем случае скорость <math>v</math> следует положить равной <math>c</math>, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда выписанное выражение вдобавок следует помножить на два:

<math> \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}</math>.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию <math>\overline {\varepsilon}=kT</math>. Помножив на <math>\overline {\varepsilon}</math>, получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот <math> \mathrm{d} \omega </math>:

<math>

       u(\omega,T) \mathrm{d} \omega = \overline {\varepsilon} \mathrm{d}n_{\omega}=
       kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} \mathrm{d} \omega

</math>,

тогда:

<math> u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} </math>.

Можно перейти от аргумента «частота <math>\omega</math>» к аргументу «длина волны <math>\lambda</math>» (<math>\omega = 2\pi c/\lambda</math>):

<math> u(\lambda,T) = u(\omega,T) |\frac{d\omega}{d\lambda}| = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3}\cdot\frac{2\pi c}{\lambda^2} = \frac{8\pi kT}{\lambda^4}</math>.

Также можно перейти от аргумента «частота <math>\omega</math>» к аргументу «частота <math>\nu</math>» в герцах (<math>\omega = 2\pi\nu</math>):

<math> u(\nu, T) = u(\omega,T) |\frac{d\omega}{d\nu}| = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3}\cdot 2\pi = \frac{8\pi\nu^2kT}{c^3}</math>.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ <math>u</math> снабжают значком: <math>u_{\omega}</math>, <math>u_{\nu}</math> или <math>u_{\lambda}</math>.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела <math>I(\omega,T)</math> с равновесной плотностью энергии теплового излучения <math>I(\omega,T)= \frac{c}{4} u(\omega,T)</math>, для <math>I(\omega,T)</math> находим:

<math> I(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2} </math>.

Выражения для <math>u(\omega,T)</math> и <math>I(\omega,T)</math> называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Шаблон:Main Формулы для <math>u(\omega,T)</math> и <math>I(\omega,T)</math> удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование <math>u(\omega,T)</math> по <math>\omega</math> в пределах от 0 до <math>\infty</math> для равновесной плотности энергии <math>u(T)</math> дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях <math>u(T)</math>. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции <math>u(\omega , T)</math>, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.