Русская Википедия:Замыкание (алгебра)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть <math>M</math> — подмножество носителя <math>A</math> некоторой алгебры <math>\mathfrak A = \langle A, \Sigma \rangle</math>. Тогда замыканием множества <math>M</math> относительно сигнатуры <math>\Sigma</math> называется минимальная подалгебра <math>\langle A_0, \Sigma \rangle \subseteq \mathfrak A</math>, содержащая <math>M</math> (<math>M \subseteq A_0</math>).

Примеры:

• Замыканием множества <math>\{1\}</math> относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел <math>\mathbb N</math>.
• Замыканием множества <math>\{1\}</math> относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел <math>\mathbb Z</math>,
• Замыкание множества <math>\{0\}</math> относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

• Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
• Подмножество натуральных чисел <math>\mathbb N</math> в множестве целых чисел <math>\mathbb Z</math> замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

См. также

• Алгебраическое замыкание поля
• Замыкание отношения
• Оператор замыкания