Русская Википедия:Знакопеременная группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы <math>S_n</math> степени <math>n</math>, содержащая только чётные перестановки.

Обычно обозначается <math>A_n</math>.

Свойства

• Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:

  <math>[S_n:A_n] = 2.</math>

• Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
• Порядок знакопеременной группы равен:

  <math>|A_n| = n!/2.</math>

• Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: <math>[S_n,S_n] = A_n.</math>
• При <math>n\ge 5</math> знакопеременная группа <math>A_n</math> является простой.
• Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, <math>A_2=\{e\}, A_3\cong\mathbb{Z}_3, [A_4;A_4]\cong V_4</math> - четверной группе Клейна, а при <math>n\geqslant 5 \ [A_n; A_n]\cong A_n</math>.
• Группа <math>A_n</math> имеет представление

  <math>A_n = \langle s_3,...,s_n| (s_i)^3=1, (s_is_j)^2=1 (3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle</math>

здесь <math>s_i\to (12i)</math>.

Примечания

Шаблон:Algebra-stub