Русская Википедия:Знакочередующийся ряд натуральных чисел
Знакочередующийся ряд натуральных чисел — знакочередующийся ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак: 1 − 2 + 3 − 4 + …. Частичная сумма с номером Шаблон:Mvar этого ряда описывается выражением:
- <math>\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}</math>.
Такой числовой ряд расходится, то есть частичные суммы ряда не стремятся ни к какому конечному пределу. Тем не менее, в середине XVIII века Леонард Эйлер предложил выражение, которое он охарактеризовал как «парадоксальное»:
- <math>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.</math>
Математический аппарат, позволяющий интерпретировать это выражение, был разработан гораздо позже. Начиная с 1890 года Чезаро, Борель и другие математики строго сформулировали методы получения обобщённых сумм расходящихся рядов, а также дополнили идеи Эйлера новыми интерпретациями. Многие из этих методов для суммы ряда дают результат, равный Шаблон:Frac. Суммирование по Чезаро является одним из немногих методов, который не позволяет определить сумму Шаблон:Nowrap. Таким образом, чтобы получить конечную сумму обобщенным методом суммирования для этого ряда, требуется иной подход, например применение суммирования методом Абеля.
Знакочередующийся натуральный ряд тесно связан с рядом Гранди (Шаблон:Nowrap). Эйлер трактовал эти ряды как два частных случая ряда Шаблон:Nowrap, который он изучал для произвольного n, работая над Базельской проблемой, и получил функциональные уравнения для функций, известных ныне как эта-функция Дирихле и дзета-функция Римана.
Расходимость
Члены последовательности (1, −2, 3, −4, …) не стремятся к нулю, поэтому согласно необходимому условию сходимости ряд расходится[1]Шаблон:Rp:
- 1 = 1,
- 1 − 2 = −1,
- 1 − 2 + 3 = 2,
- 1 − 2 + 3 − 4 = −2,
- 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
- 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
- …
- <math>\sum_{n=1}^m (-1)^{n-1} n \; \; = \frac{(-1)^{m-1}(2m+1)+1}{4}</math>
Эта последовательность примечательна тем, что в ней присутствует каждое целое число — даже ноль, если учитывать пустую частичную сумму — и таким образом множество значений членов этой последовательности счётно[2]Шаблон:Rp. Эта последовательность частичных сумм показывает, что ряд не сходится ни к какому конкретному числу (для любого Шаблон:Mvar можно найти член, после которого все последующие частичные суммы будут находиться вне интервала <math>[x-1, x+1]</math>), и поэтому знакочередующийся натуральный ряд расходится.
Эвристика для суммирования
Стабильность и линейность
Поскольку члены 1, −2, 3, −4, 5, −6, … подчиняются простой закономерности, знакочередующийся натуральный ряд можно преобразовать сдвигом и почленным сложением с целью приписать ему некоторое числовое значение. Если выражение Шаблон:Math для какого-то обычного числа Шаблон:Mvar имеет смысл, то следующее формальное преобразование позволяет утверждать, что его значение в некотором смысле равно Шаблон:Nowrap[1]Шаблон:Rp.
- <math>
\begin{array}{rclllll} 4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
&=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
&=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1 \end{array} </math>
Поэтому <math>s=\frac{1}{4}</math>. Справа этот вывод проиллюстрирован графически.
Несмотря на то, что знакочередующийся натуральный ряд расходится и не имеет суммы в обычном смысле, выражение Шаблон:Nowrap даёт естественный ответ, если такая сумма может быть определена. Обобщённое определение «суммы» расходящегося ряда называется методом суммирования, который позволяет находить суммы для некоторого подмножества всех последовательностей. Существует множество методов обобщенного суммирования рядов (некоторые из них описаны ниже), которые обладают некоторыми свойствами обычного суммирования рядов. Выше было доказано следующее: если применить любой метод обобщенного суммирования, являющийся линейным и стабильным, который позволит получить сумму ряда Шаблон:Nowrap, то эта сумма составит Шаблон:Frac. Более того, поскольку:
- <math>
\begin{array}{rcllll} 2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\
& = & 1 + &(-2+3-4+\cdots) & {} + 1 - 2 & + (3-4+5\cdots) \\
& = & 0 + &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\
2s & = & &1-1+1-1\cdots \end{array} </math>
такой метод даст и сумму для ряда Гранди, которая будет равна Шаблон:Nowrap
Произведение Коши
В 1891 году Эрнесто Чезаро выразил надежду, что анализ расходящихся рядов выльется в самостоятельное исчисление, указывая: «Уже пишут
- <math>{(1 - 1 + 1 - 1 + \dots)}^{2} = 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots</math>
и утверждают, что обе стороны равны <math>1/4</math>.»[3]Шаблон:Rp. Для Чезаро это выражение было применением теоремы, опубликованной им годом ранее, и которую можно считать первой теоремой в истории суммируемых расходящихся рядов. Детали этого метода суммирования изложены ниже; основная идея состоит в том, что <math>1 - 2 + 3 - 4 + \ldots</math> является произведением Коши <math>1 - 1 + 1 - 1 + \ldots</math> на <math>1 - 1 + 1 - 1 + \ldots</math>.
Произведение Коши для двух бесконечных последовательностей определено, даже если они обе расходятся. В случае, когда
- <math>\sum{a_n} = \sum{b_n} = \sum{{(-1)}^{n}},</math>
члены произведения Коши получаются из конечной диагональной суммы:
- <math>\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
& = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n = (-1)^n(n+1).
\end{array}</math>
И тогда результирующая последовательность: <math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\ldots.</math>
Поэтому метод суммирования, который сохраняет произведение Коши, и даёт сумму
- <math> 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \frac{1}{2},</math>
также даст сумму
- <math>1 - 2 + 3 - 4 + \ldots = \frac{1}{4}.</math>
С использованием результатов, полученных в предыдущей секции, из этого вытекает эквивалентность суммируемости <math>1 - 1 + 1 - 1 + \ldots</math> и <math>1 - 2 + 3 - 4 + \ldots</math> при использовании методов суммирования, являющихся линейными, стабильными и сохраняющих произведение Коши.
Теорема Чезаро — это только пример. Ряд
- <math> 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots</math>
является суммируемым по Чезаро в слабом смысле, и называется Шаблон:Nowrap, в то время как
- <math>1 - 2 + 3 - 4 + \ldots</math>
требует более сильной формы теоремы Чезаро[1]Шаблон:Rp[4]Шаблон:Rp и называется Шаблон:Nowrap Поскольку все формы метода суммирования по Чезаро являются линейными и стабильными, значения сумм соответствуют вычисленным выше.
Частные методы
Метод Чезаро и Гёльдера
Чтобы найти сумму по Чезаро (C, 1) для 1 − 2 + 3 − 4 + …, если она существует, нужно вычислить среднее арифметическое частичных сумм ряда. Частичные суммы таковы:
- 1, −1, 2, −2, 3, −3, …,
и их среднее арифметическое составляет:
- 1, 0, Шаблон:Frac, 0, Шаблон:Frac, 0, Шаблон:Frac, ….
Последовательность не сходится, поэтому 1 − 2 + 3 − 4 + … не является суммируемой по Чезаро.
Есть два широко известных обобщения суммирования методом Чезаро: концептуально более простое среди них является последовательностью методов (H, n) для натуральных чисел n, где сумма (H, 1) — это сумма по Чезаро, а высшие методы получаются многократным применением метода суммирования по Чезаро. В примере выше, чётные средние сходятся к Шаблон:Frac, в то время как нечётные равны нулю, поэтому среднее арифметическое средних арифметических сходится к среднему между нулём и Шаблон:Frac, что составляетШаблон:Frac[1]Шаблон:Rp[4]Шаблон:Rp Поэтому Шаблон:Nowrap является (H, 2), дающим сумму Шаблон:Frac.
«H» — это сокращение от фамилии Отто Гёльдера, который в 1882 году доказал первым то, что сейчас математики расценивают как связь между суммированием методом Абеля и суммированием(H, n); ряд Шаблон:Nowrap использовался им в качестве первого примера.[3]Шаблон:Rp[5]Шаблон:Rp Тот факт, что Шаблон:Frac является суммой (H, 2) последовательности Шаблон:Nowrap гарантирует, что это также и абелева сумма; это будет непосредственно доказано ниже.
Другое часто формулируемое обобщение суммирования методом Чезаро — это последовательность методов (C, n). Было доказано, что суммирование (C, n) и (H, n) дают одинаковые результаты, но имеют разную историю. В 1887 году Чезаро близко подошёл к тому, чтобы дать определение суммированию (C, n), но ограничился приведением нескольких примеров. В частности, он получил сумму Шаблон:Frac для Шаблон:Nowrap методом, который может быть переформулирован как (C, n), но не воспринимался таковым в своё время. Он формально определил методы (C, n) в 1890 году, для формулирования своей теоремы, гласящей что произведение Коши (C, n)-суммируемого и (C, m)-суммируемого рядов являются (C, m + n + 1)-суммируемыми.[3]Шаблон:Rp
Суммирование по Абелю
В отчёте 1749 года Эйлер признавал, что ряд расходится, но всё равно планировал найти его сумму:
…когда было сказано, что сумма ряда 1−2+3−4+5−6 и т. д. составляет Шаблон:Frac, это должно было показаться парадоксальным. Складывая 100 членов этого ряда, мы получаем −50, однако сумма 101 члена даёт +51, что очень сильно отличается от Шаблон:Frac и отличается ещё сильнее с увеличением числа членов. Но я уже раньше замечал, что необходимо дать слову sum более широкое значение….[6]Шаблон:Rp
Эйлер предлагал обобщение понятия «сумма ряда» несколько раз. В случае для Шаблон:Nowrap его идеи похожи на то, что сейчас называется методом суммирования Абеля:
…более нет сомнений, что сумма ряда 1−2+3−4+5 + и т. д. — Шаблон:Frac; поскольку это вытекает из раскрытия формулы Шаблон:Frac, значение которой, несомненно, Шаблон:Frac. Идея становится понятнее при рассмотрении обобщённого ряда 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x4 − 6x5 + &c. возникающего при раскрытии выражения Шаблон:Frac, которому этот ряд будет эквивалентен после того как мы присвоим x = 1.[6]Шаблон:Rp
Есть много способов увидеть, что как минимум для абсолютных значений |x| < 1, Эйлер прав в том, что
- <math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.</math>
Можно раскрыть правую часть по Тейлору, либо применить формальный процесс деления многочленов столбиком[7]Шаблон:Rp. Начиная с левой части, можно использовать общую эвристику, приведённую выше, и перемножить (1+x) на себя[8], или возвести в квадрат ряд Шаблон:Nowrap Эйлер, по-видимому, также предложил почленно продифференцировать этот ряд[6]Шаблон:Rp.
С современной точки зрения, последовательность 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … не определяет функцию в точке Шаблон:Nowrap поэтому это значение не может быть просто подставлено в результирующее выражение. Поскольку функция определена для всех Шаблон:Nowrap можно вычислять предел при стремлении x к единице, и это будет определением абелевой суммы:
- <math>\lim_{x\rightarrow 1 - 0}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1 - 0}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.</math>
Эйлер и Борель
Эйлер применил к последовательностям другой подход: преобразование Эйлера, одно из своих изобретений. Чтобы вычислить преобразование Эйлера, начинают с последовательности положительных членов — в данном случае Шаблон:Nowrap Первый член этой последовательности обозначен a0.
Далее нужно получить последовательность конечных разностей среди Шаблон:Nowrap; это просто Шаблон:Nowrap Первый элемент этой новой последовательности обозначается Δa0. Преобразование Эйлера также зависит от разности разностей и более высоких итераций, но все разности среди Шаблон:Nowrap равны 0. В таком случае преобразование Эйлера для Шаблон:Nowrap определяется следующим образом:
- <math>\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.</math>
В современной терминологии, Шаблон:Nowrap называется суммируемым по Эйлеру, с суммой равной Шаблон:Frac.
Суммируемость по Эйлеру также предполагает ещё один вид суммируемости. Представляя Шаблон:Nowrap как
- <math>\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1),</math>
получается сходящийся в каждой точке ряд:
- <math>a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^k}{k!} = e^{-x}(1-x).</math>
Таким образом, борелева сумма ряда 1 − 2 + 3 − 4 + … составляет[4]Шаблон:Rp:
- <math>\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}(1-x)\,dx = \frac12-\frac14.</math>
Разделение шкал
Саичев и Войчыньский пришли к значению Шаблон:Nowrap, применяя два физических принципа: отбрасывание бесконечно малых и разделение шкал. Точнее, эти принципы помогли им сформулировать широкое семейство «методов φ-суммирования», все из которых дают сумму Шаблон:Frac:
- Если φ(x) — это функция, первая и вторая производная которой непрерывно интегрируема на (0, ∞), такая что φ(0) = 1 и пределы φ(x) и xφ(x) при стремлении к +∞ оба равны нулю, то[9]Шаблон:Rp:
- <math>\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>
Этот результат является обобщением абелева суммирования которое получается заменой φ(x) = exp(−x). Общее утверждение может быть доказано при помощи группирования по парам членов ряда по m и преобразовывая выражение в интеграл Римана. Относительно последнего шага, в соответствующем доказательстве для Шаблон:Nowrap применяется теорема Лагранжа о среднем значении, но здесь требуется более сильная форма Лагранжа теоремы Тейлора.
Обобщения ряда
Трёхкратное произведение Коши для ряда Шаблон:Nowrap даёт ряд Шаблон:Nowrap — знакочередующийся ряд из треугольных чисел, его абелева и эйлерова суммы равны Шаблон:Frac.[10]Шаблон:Rp Четырёхкратное произведение Коши ряда Шаблон:Nowrap даёт ряд Шаблон:Nowrap — знакочередующийся ряд из тетраэдральных чисел, абелева сумма которого равна Шаблон:Frac.
Другое обобщение ряда 1 − 2 + 3 − 4 + … возможно в несколько другом направлении: это семейство рядов Шаблон:Nowrap для других значений n. При положительных n подобный ряд имеет следующую абелеву сумму:
- <math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}</math>
где Bn — числа Бернулли. Для чётных n это сводится к
- <math>1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0.</math>
Последняя сумма стала объектом насмешек со стороны Нильса Абеля в 1826:
«Расходящиеся ряды — это всецело работа дьявола, и стыд тому, кто пытается найти какие-либо доказательства относительно них. Можно получить из них, что захочешь, и это они породили так много горя и парадоксов. Можно ли представить что-либо более ужасное, чем сказать, что
- 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + и т. д.
где n — положительное число. Здесь есть над чем посмеяться, друзья.»[11]Шаблон:Rp
Учитель Чезаро, Эжен Каталан, также пренебрежительно относился к расходящимся рядам. Под влиянием Каталана Чезаро изначально характеризовал «условные формулы» для ряда Шаблон:Nowrap как «абсурдные выражения», и в 1883 Чезаро выражал общепринятый взгляд, что эти формулы ошибочны, но могут в чём-то быть формально полезны. Наконец, в своей работе Sur la multiplication des séries 1890 года Чезаро пришёл к современному подходу, начиная с определений[3]Шаблон:Rp.
Ряды были также исследованы для нецелых значений n; они дают эта-функцию Дирихле. Отчасти мотивацией Эйлера к изучению рядов, связанных с рядом Шаблон:Nowrap, стало функциональное уравнение для эта-функции, которое непосредственно ведёт к функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Эйлер уже был знаменит нахождением значений этих функций для положительных чётных целых чисел (включая решение базельской проблемы), и попытался найти значения и для положительных нечётных целых чисел (включая постоянную Апери) — эта проблема не разрешена по сей день. Работать методами Эйлера с эта-функцией несколько проще, потому что её ряды Дирихле везде суммируемы по Абелю; ряды Дирихле дзета-функции гораздо сложнее суммировать там, где они расходятся[6]Шаблон:Rp. К примеру, Шаблон:Nowrap в дзета-функции соответствует знакопостоянный ряд Шаблон:Nowrap, который используется в современной физике, но требует гораздо более сильных методов суммирования.
Примечания
Шаблон:Последовательности и ряды
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Шаблон:Книга:
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Шаблон:Статья
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Шаблон:Cite web ; Работа была написана в 1749 году, но изначально издана только в 1968-м: Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
