Русская Википедия:Золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, <math>1 : \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>, или <math>1:\varphi</math> (греческая буква фи), где [[Фи|Шаблон:Mvar]] примерно равно 1,618.
Построение
Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:
- Строим обычный квадрат.
- Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.
- Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.
- Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.
Связь с правильными многоугольниками и многогранниками
Отличительной особенностью фигуры является то, что после удаления квадрата оставшаяся часть остаётся золотым прямоугольником, сохраняя то же самое Шаблон:Не переведено 5. Удаление квадратов можно продолжать бесконечно, при этом соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотой спирали, единственной логарифмической спирали с этим свойством.
Другое построение золотого прямоугольника использует три правильных многоугольника, вписанных в одинаковые окружности — десятиугольник, шестиугольник и пятиугольник. Соответствующие длины сторон a, b и c этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a2 + b2 = c2, так что отрезки с этими длинами образуют Шаблон:Не переведено 5 (согласно теореме Пифагора). Отношение длины стороны шестиугольника к длине стороны десятиугольника равно золотому сечению, так что треугольник образует половину золотого прямоугольника[1].
Выпуклая оболочка двух противоположных рёбер правильного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Двенадцать вершин икосаэдра можно разбить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых образуют кольца БорромеоШаблон:Sfn.
Приложения
Согласно популяризатору астрофизики и математики Марио Ливио, после публикации книги Пачоли «Божественная пропорция» в 1509 году[2], когда золотая пропорция стала известна художникам без излишней математикиШаблон:Sfn, многие художники и архитекторы были очарованы золотым сечением, и оно принято ими как эстетически приятное. Пропорции золотого прямоугольника были известны и до публикации ПачолиШаблон:Sfn в традиционных системах пропорционирования архитектурных сооружений, в частности в «египетской системе диагоналей». Такие архитектурные шедевры, как Парфенон в Афинах или Альгамбра в Гранаде явно использовали пропорции золотого прямоугольника.
Аналогичное построение использовал в 1940-х годах французский архитектор-модернист Ле Корюзье в собственной системе пропорционирования «Модулор» и российский архитектор-теоретик И. П. Шмелёв при анализе пропорций древних сооружений.
- Вилла Штейн (1927) архитектора Ле Корбюзье в Гарше в горизонтальном плане, в профиле и во внутренних структурах использует близкие к золотому прямоугольнику пропорции Шаблон:Sfn.
- Флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику[3].
См. также
- Числа Фибоначчи
- Золотая середина
- Золотое сечение
- Золотой ромб
- Треугольник Кеплера
- Фибоначчи
- Шаблон:Не переведено 5
- Серебряное сечение
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.
- Шаблон:Статья, как цитировано у Падована Шаблон:Книга: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
Ссылки
- Golden Ratio at MathWorld Шаблон:Wayback
- The Golden Mean and the Physics of Aesthetics Шаблон:Wayback
- Golden rectangle demonstration Шаблон:Wayback With interactive animation
Шаблон:Золотое сечение Шаблон:Многоугольники
- ↑ Euclid, Book XIII, Proposition 10 Шаблон:Wayback.
- ↑ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
- ↑ Шаблон:Cite web
