Русская Википедия:Золотой треугольник (геометрия)
Золотой треугольникШаблон:Sfn — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием:
- <math>{ a \over b} = \varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}.</math>
Золотые треугольники можно обнаружить в развёртках некоторых звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра.
Также, тот же треугольник обнаруживается в вершинах пентаграммы. Угол при вершине равен
- <math> \theta = \cos^{-1}\left( {\varphi \over 2}\right) = {\pi \over 5} = 36^\circ. </math>
Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, получаем, что углы при основании равны 72°Шаблон:Sfn. Золотой треугольник можно найти также в десятиугольнике, если соединить две смежные вершины с центром. Полученный треугольник будет золотым, поскольку: 180(10-2)/10=144° является внутренним углом десятиугольника, и деление его отрезком, соединяющим вершину с центром, даст половину, 144/2=72Шаблон:Sfn.
Золотой треугольник также замечателен уникальным соотношением углов 2:2:1[1].
Логарифмическая спираль
Последовательность золотых треугольников можно вписать в логарифмическую спираль. (Начиная с большого треугольника) делим угол при основании пополам, получаем следующую точкуШаблон:Sfn. Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников. Логарифмическую спираль можно провести через полученные вершины. Эта спираль известна также как равноугольная спираль. Термин предложил Рене Декарт: «Если провести прямую из полюса к любой точке на кривой, она пересечёт кривую всегда под одним и тем же углом»Шаблон:Sfn.
Золотой гномон
Тесно связан с золотым треугольником золотой гномон, тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины равных (коротких) сторон к длине третьей стороны (основанию) является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника.
Расстояние AX и СX равны φ, что видно на рисунке. «Золотой треугольник имеет отношение основания к стороне, равное золотому отношению φ, в то время как золотой гномон имеет отношение боковой стороны к основанию, равное тому же золотому отношению» Шаблон:Sfn.
Шаблон:Кратное изображение Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона[1].
Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой дельтоид, состоящий из двух золотых треугольников, а «дротик» — дельтоид, состоящий из двух золотых гномонов.
См. также
- Золотое сечение
- Золотой прямоугольник
- Золотой ромб
- Треугольник Кеплера
- Шаблон:Не переведено 5
- Мозаика Пенроуза
- Пентаграмма
Примечания
Литература
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:MathWorld
- Robinson triangles at Tilings Encyclopedia
Шаблон:Rq Шаблон:Золотое сечение
.svg){kind=link}