Русская Википедия:Зоногон
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Зоногон — центрально-симметричный выпуклый многоугольник.
Эквивалентные определения
- Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, которые можно разбить на пары равных и параллельных. На самом деле, достаточно требовать истинность обеих условий для всех пар сторон, кроме одной — для неё условие уже будет следствием, что нетрудно доказать по индукции по количеству сторон многоугольника. Однако пара сторон, параллельность и равенство которых не постулируется, обязательно должна быть одной и той же для обеих условий, иначе многоугольник уже не обязательно будет зоногоном: пример многоугольника, не являющегося зоногоном, в котором противоположные стороны лишь одной пары не параллельны и противоположные стороны лишь одной пары не равны, изображён на рисунке справа.
- Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, у которого все противоположные стороны и углы равны.
- Зоногон — сумма Минковского конечного числа отрезков на плоскости. Количество сторон полученного зоногона равно удвоенному количеству отрезков.
- Зоногон — граница проекции на плоскость гиперкуба некоторой размерности. Данное определение можно получить из предыдущего, пользуясь тем фактом, что гиперкуб является суммой Минковского своих рёбер, выходящих из одной вершины, и тем, что проекция суммы Минковского отрезков (как и любых других множеств) является суммой Минковского их проекций. При размерности гиперкуба <math>n</math> полученный зоногон имеет ровно <math>2n</math> сторон в общем случае и не более <math>2n</math> сторон в любом случае. Важно, что гиперкуб размерности <math>n</math> не обязательно должен проектироваться из <math>n</math>-мерного пространства на плоскость, содержащуюся в этом пространстве: например, проектируя куб с ребром <math>2</math> из трёхмерного пространства на содержащуюся в нём плоскость, нельзя получить фигуру с диаметром меньше <math>2</math>, так как таков диаметр вписанной сферы куба, чья проекция является кругом диаметра <math>2</math> и содержится внутри проекции самого куба при любом его положении, а вот ортогональная проекция куба такого же размера с вершинами <math>(0, 0, \pm1, \pm1, \pm1)</math> из пятимерного пространства на плоскость, образованную всеми точками вида <math>(x, y, 0, 0, 0)</math>, состоит и вовсе из одной точки — <math>(0, 0, 0, 0, 0)</math>. Данное уточнение влияет не только на размер получаемых зоногонов - некоторые зоногоны с точностью до подобия могут быть получены только проектированием гиперкуба на плоскость из пространства большей размерности, чем размерность самого гиперкуба.
Частные случаи
- Параллелограмм - четырёхугольник, являющийся зоногоном. В частности, зоногонами являются ромб, прямоугольник и квадрат.
- Правильный многоугольник с чётным количеством сторон является зоногоном.
Свойства
- Обобщение теоремы Монски: никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы[1][2].
- Максимальное количество пар вершин, которые могут находиться на одинаковых расстояниях, в зоногоне с <math>n</math> сторонами равно <math>2n-3</math>. Существуют зоногоны с количеством таких пар, равным <math>2n-O(\sqrt{n})</math> (см. «O» большое и «o» малое)[3].
- Любой строго выпуклый зоногон с <math>2n</math> сторонами может быть разбит на <math>\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}</math> параллелограммов, причём среди них всегда на каждую пару возможных направлений сторон зоногона будет приходиться ровно один параллелограмм с такими же направлениями сторон[4]. Количества таких возможных разбиений для зоногонов с любыми количествами сторон даёт Шаблон:OEIS.
- Для любого разбиения произвольного зоногона на параллелограммы (в любом возможном их количестве) найдётся по крайней мере три вершины зоногона, каждая из которых принадлежит всего лишь одному из параллелограммов[5].
Способы уменьшения количества сторон
Указанные способы могут быть применены в индукции по количеству сторон зоногона по доказательству приведённых выше эквивалентных определений и свойств.
- Отсечение вершин — при помощи него, например, легко доказывается эквивалентность главного определения второму определению из раздела с эквивалентными определениями.
- Отсечение полос параллелограммов — помимо прочего, оно может быть использовано для доказательства свойств выше, связанных с разбиением зоногонов на параллелограммы полностью.
Замощения плоскости зоногонами
Все зоногоны с количеством вершин, большим четырёх, в замощениях ниже могут быть разбиты на зоногоны с меньшим количеством вершин при помощи рассечения слоёв параллелограммов, показанного на одном из рисунков выше. Также эти параллелограммы могут быть удалены из замощения, что будет равносильно «схлопыванию» зоногонов в некотором направлении.
Замощения одним типом зоногонов
Четырёхугольники и шестиугольники, являющиеся зоногонами, являются также параллелогонами и допускают замощения плоскости собственными копиями, полученными только при помощи параллельного переноса.
| Замощения плоскости одним типом зоногонов | |
|---|---|
| Замощение четырёхугольными зоногонами | Замощение шестиугольными зоногонами |
| Файл:Замощение плоскости четырёхугольными зоногонами.png | Файл:Замощение плоскости шестиугольными зоногонами.png |
Замощения двумя типами зоногонов
Данные замощения являются своего рода усечениями замощения плоскости параллелограммами (четырёхугольными зоногонами) по рёбрам и по вершинам соответственно.
| Замощения плоскости двумя типами зоногонов | |
|---|---|
| Замощение четырёхугольными и шестиугольными зоногонами |
Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами |
| Файл:Замощение плоскости четырёхугольными и шестиугольными зоногонами.png | Файл:Замощение плоскости четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами.png |
Некоторые другие замощения
| Замощения плоскости несколькими типами зоногонов, включая восьми- угольные, полученные из замощений плоскости одним типом зоногонов | |
|---|---|
| Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами |
Замощение четырёхугольными, шести- угольными и восьмиугольными зоногонами |
| Каркасы | |
| Файл:Каркас замощения плоскости четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами.png | Файл:Каркас первого замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png |
| Замощения | |
| Файл:Замощение плоскости четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами.png | Файл:Первое замощение плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png |
| В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт два подобных замощения. |
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения. |
| Замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьми- угольными зоногонами, полученные из замощений предыдущей таблицы | |
|---|---|
| Замощение, полученное из замощения четырёх- угольными и восьмиугольными зоногонами |
Замощение, полученное из замощения четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами |
| Каркасы | |
| Файл:Каркас второго замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png | Файл:Каркас третьего замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png |
| Замощения | |
| Файл:Второе замощение плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png | Файл:Третье замощение плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами.png |
| В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения (двумя способами можно соединять сами восьмиугольники, а ещё двумя для каждого расположения восьмиугольников сгруппировать оставшиеся части плоскости в четырёхугольники и шестиугольники). | В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения, как и в случае слева. В данной мозаике, в отличие от той, что слева, четырёхугольники, участвующие в заполнении дыр в «кольцах» из восьми восьмиугольников, совпадают с четырёхугольниками, заполняющими дыры в «кольцах» из четырёх восьми- угольников — этот факт иллюстрирует возможность двоякого заполнения «колец» из восьми восьмиугольников (во втором варианте их четырёхугольники совпадали бы с четырёхугольниками из «колец» из шести восьмиугольников). |
Некоторые способы «раздвигания» замощений
Замощения могут быть «раздвинуты» вдоль периодических разрезов между многоугольниками, а полученные щели могут быть заполнены полосами, приведёнными ниже. В первой таблице предыдущего раздела правое замощение было получено из левого при помощи
| Способы с равномерным чередованием сторон | ||
|---|---|---|
| Период 1 | Файл:Цепочка зоногонов периода 1.png | |
| Период 2 | Файл:Цепочка зоногонов периода 2.png | |
| Период 3 | Файл:Цепочка зоногонов периода 3.png | |
| Период 4 | Файл:Цепочка зоногонов периода 4.png | При помощи данной полосы левое замощение из первой таблицы предыдущего раздела может быть превращено в правое замощение той же таблицы. |
| Способы со сторонами, встречающимися с разной частотой | ||
|---|---|---|
| Период 4 | Файл:Цепочка зоногонов периода 4 с повторением стороны.png | На границе данной полосы один тип сторон встречается в два раза чаще, чем любой из других двух. |
Обобщения
- Зоноэдр (зонотоп) — многогранник, являющийся обобщением зоногона для трёхмерного пространства и пространств большей размерности. Иногда под зоноэдром подразумевают только трёхмерный многогранник, а под зонотопом - многогранник произвольной размерности.
- Можно рассматривать центрально-симметричный многоугольник, не являющийся выпуклым и даже несамопересекающимся. При этом для него будут верны только два первых определения из раздела «Эквивалентные определения» с соответственно убранными требованиями выпуклости. В некотором смысле такие многоугольники с небольшим количеством сторон всё ещё будут допускать замощения плоскости.
Примечания
